72 - SuperAulas ENEM - Matemática - Triângulos

Jogos matemáticos - 72

THE PARKING LOT

Mas, que estacionamento apertado!
Será que você vai conseguir tirar o seu carro?
Vamos lá, tente!

THE PARKING LOT

FRACTAIS (12)

Prova de Alternativas

Neste vídeo você vai conhecer os conceitos básicos de probabilidade.
Vamos lá?

*HERON

Heron de Alexandria

Data de Nascimento: cerca de 10 no (possivelmente) Alexandria, Egito
Morreu em: cerca de 75

Às vezes chamado de herói, Heron de Alexandria foi um geômetra importante e trabalhador em mecânica. Talvez a primeira pena tomada comentário é quão comum o nome Heron Foi nessa época e é um problema difícil na história da matemática para identificar quais as referências a Heron estão ao matemático descrito neste artigo e que são para os outros com o mesmo nome . Há problemas adicionais de identificação que serão discutidos abaixo.

Uma das maiores dificuldades em relação Heron foi o de estabelecer a data em que ele viveu. Havia duas principais escolas de pensamento sobre isso, um acreditando que ele viveu por volta de 150 aC ea segunda acreditando que ele viveu por volta de 250 dC. A primeira delas foi baseado principalmente no fato de que Heron não citar nenhum trabalho mais tarde do que Arquimedes. O segundo foi baseado em um argumento que pretendia mostrar que ele viveu depois que Ptolomeu e, desde Pappus refere-se a garça-real, antes de Pappus.

Ambos estes argumentos têm sido mostrados para estar errado. Havia uma terceira data proposta que foi baseado na crença de que Heron foi contemporâneo de Columella. Columella era um soldado romano e agricultor que escreveu extensivamente sobre agricultura e assuntos semelhantes, na esperança de fomentar nas pessoas um amor para a agricultura e um gosto para a vida simples. Columella, em um texto escrito em cerca de 62 AD [5]: -

... Deu medidas de figuras planas que concordam com as fórmulas utilizadas por Heron, nomeadamente as do triângulo equilátero, o hexágono regular (neste caso, não só a fórmula, mas os números reais de acordo com Heron 's) e o segmento de um círculo que é menor do que um semicírculo ...

No entanto, a maioria dos historiadores acredita que tanto Columella e Heron estavam usando uma fonte anterior e afirmou que a semelhança não conseguiu provar qualquer dependência. Sabemos agora que aqueles que acreditavam que Heron viveu na época da Columella eram de fato correta, por Neugebauer em 1938 descobriu que Heron se refere a um eclipse recente em uma de suas obras que, a partir da informação dada por Heron, ele foi capaz de identificar-se com uma que ocorreu em Alexandria 23.00 horas em 13 de Março 62.

Dos escritos de Heron, é razoável deduzir que ele ensinou no Museu de Alexandria. Suas obras parecem com notas de aula dos cursos de que ele deve ter dado lá em matemática, física, pneumática e mecânica. Alguns são livros didáticos claramente enquanto outros são, talvez, rascunhos de aula ainda não notas trabalharam em sua forma final para um livro do aluno.

Pappus descreve a contribuição de Heron no Livro VIII da sua Colecção Matemática. Pappus escreve (ver por exemplo [8]): -

Os mechanicians da escola de Heron dizer que a mecânica pode ser dividido em uma parte teórica e uma parte manual; a parte teórica é composta de geometria, aritmética, astronomia e física, o manual do trabalho em metais, arquitetura, carpintaria e pintura e tudo o que envolve a habilidade com as mãos.

... Os antigos também descrevem como mechanicians os admira-trabalhadores, dos quais alguns trabalhos por meio de pneumática, como Heron em seu Pneumatica, alguns usando cordas e cabos, pensando em imitar os movimentos dos seres vivos, como Heron em seu Automata e Balancings, ... ou usando a água para contar o tempo, como Heron em sua Hydria, que parece ter afinidades com a ciência de relógios de sol.

Um grande número de obras por Heron sobreviveram, embora a autoria de alguns é contestado. Vamos discutir algumas das discordâncias em nossa lista de obras de Heron abaixo. As obras se dividem em várias categorias, trabalhos técnicos, obras mecânicas e trabalhos matemáticos. As obras sobreviventes são:

No Dioptra lidar com teodolitos e agrimensura. Ele contém um capítulo sobre astronomia dando um método para encontrar a distância entre Alexandria e Roma usando a diferença entre a hora local em que um eclipse da lua é observado em cada cidades. O fato de que Ptolomeu não parece ter tido conhecimento deste método levou historiadores acreditam erroneamente Heron viveu depois de Ptolomeu;

O pneumatica em dois livros estudando dispositivos mecânicos trabalharam por ar, vapor ou pressão da água. É descrito em mais detalhe a seguir;

O teatro autômato descrevendo um teatro de fantoches trabalhou por cordas, bateria e pesos;

Belopoeica descrevendo como construir máquinas de guerra. Ele tem algumas semelhanças com o trabalho por Philon e também trabalhar por Vitrúvio, que era um arquiteto e engenheiro romano que viveu no primeiro século aC;

O cheirobalistra sobre catapultas é pensado para ser parte de um dicionário de catapultas, mas quase certamente não foi escrito por Heron;

Mechanica em três livros escritos por arquitetos e descritos em mais detalhes abaixo;

Metrica que dá métodos de medição. Nós damos mais detalhes abaixo;
Definitiones contém 133 definições de termos geométricos começam com pontos, linhas etc. Em [15] Knorr argumenta convincentemente que este trabalho é, de facto, devido a Diofanto;

Geometria parece ser uma versão diferente do primeiro capítulo da Metrica inteiramente baseado em exemplos. Embora baseado no trabalho de Heron, não é pensado para ser escrito por ele;

Stereometrica mede objetos tridimensionais e é pelo menos em parte, com base no segundo capítulo da Metrica novamente com base em exemplos. Mais uma vez, é apesar de ser baseado no trabalho de Heron, mas muito alterada por muitos editores posteriores;

Mensurae mede toda uma variedade de objetos diferentes e está conectado com partes do Stereometrica e Metrica embora se deva principalmente a obra de um autor mais tarde;

Catoptrica lida com espelhos e é atribuída por alguns historiadores de Ptolomeu, embora a maioria agora parecem acreditar que esta é uma verdadeira obra de Heron. Neste trabalho, Heron afirma que os resultados da visão de raios de luz emitidos pelos olhos. Ele acredita que estes raios viajam com velocidade infinita.

Vamos examinar alguns dos trabalhos de Heron em um pouco mais de profundidade. Livro I de seu Tratado ofertas Metrica com também é dada áreas de triângulos, quadriláteros, polígonos regulares de entre 3 e 12 lados, superfícies de cones, cilindros, prismas, pirâmides, esferas etc. um método, conhecido pelo babilônios 2000 anos antes, para aproximar a raiz quadrada de um número. Heron dá a este na forma seguinte (ver por exemplo [5]): -

Desde 720 tem o seu lado não racional, podemos obter o seu lado dentro de uma diferença muito pequena como se segue. Desde o próximo número quadrado sucesso é 729, que tem 27 por seu lado, dividir 720 por 27. Isso dá 26 2/3. Adicionar 27 a isso, fazendo 53 2/3, e tomar metade deste ou 26 5/6. O lado do 720 será, portanto, quase 26 5/6. Na verdade, se se multiplicar 26 5/6 por si só, o produto é de 720 1/36, de modo que a diferença de o quadrado é 1/36. Se desejamos fazer a diferença ainda menor do que 1/36, tomaremos 720 1/36, em vez de 729 (ou melhor, devemos ter 26 5/6, em vez de 27), e procedendo da mesma forma que deve encontrar o resultando diferença muito menos do que 1/36.

Heron também comprova sua famosa fórmula do Livro I do Metrica:

Se A é a área de um triângulo com lados a, b e c e s = (a + b + c) / 2, em seguida
     A2 = s (s - a) (s - b) (s - c).

No Livro II da Metrica, Heron considera a medição de volumes de várias figuras tridimensionais, tais como esferas, cilindros, cones, prismas, pirâmides, etc Seu prefácio é interessante, em parte porque o conhecimento do trabalho de Arquimedes não parece ser tão amplamente conhecido como se poderia esperar (ver por exemplo [5]): -

Após a medição de superfícies, rectilíneas ou não, é adequada para prosseguir para corpos sólidos, as superfícies dos quais já medidos no livro anterior, superfícies planas e esféricas, cónico e cilíndrico, e superfícies irregulares também. Os métodos de lidar com estes sólidos são, na opinião de seu caráter surpreendente, referido Archimedes por certos escritores que dão ao cliente tradicional da sua origem. Mas se eles pertencem a Arquimedes ou de outra, é necessário dar um esboço desses resultados também.

Livro III da Metrica lida com dividindo áreas e volumes de acordo com uma determinada proporção. Este foi um problema que Euclides investigou em seu trabalho sobre as divisões de figuras e de Heron Livro III tem muito em comum com a obra de Euclides. Também no Livro III, Heron dá um método para encontrar a raiz cúbica de um número. Em particular Heron encontra a raiz cúbica de 100 e os autores [9] dar uma fórmula geral para a raiz cúbica de N que Heron parece ter usado em seu cálculo:

a + b d / (b + d aD) (b - a),
onde a3
Em [9] é comentou que esta é uma fórmula muito precisos, mas, a menos que um copista bizantina é a culpa por um erro, eles concluem que Heron poderiam ter emprestado essa fórmula exata, sem entender como usá-lo em geral.

O Pneumatica é uma obra estranha que é escrito em dois livros, o primeiro com 43 capítulos ea segunda com 37 capítulos. Heron começa com uma consideração teórica da pressão em fluidos. Alguma desta teoria está certa, mas, não surpreendentemente, alguns é completamente errado. Em seguida, segue-se uma descrição de uma coleção do que poderia ser melhor descrito como brinquedos mecânicos para as crianças [1]: -

frascos truque que dão vinho ou água separadamente ou em proporções constantes, pássaros cantando e soam trombetas, fantoches que se movem quando há um fogo aceso no altar, os animais que bebem quando são oferecidos água ...

Apesar de tudo isso parece muito trivial para um cientista ser envolvido com, parece que Heron está usando estes brinquedos como um veículo para o ensino de física para seus alunos. Parece ser uma tentativa de tornar as teorias científicas relevantes para itens de uso diário que os alunos da época estaria familiarizado com.

Há, em vez extraordinariamente, descrições de mais de 100 máquinas, como um carro de bombeiros, um órgão de vento, uma máquina operada por moedas, e um motor movido a vapor chamado de aeolipile. aeolipile de Heron, que tem muito em comum com um motor a jato, é descrito em [2] como segue: -

O aeolipile era uma esfera oca montada de modo a poder girar sobre um par de tubos ocos que fornecido vapor para a esfera de um caldeirão. O vapor escapou da esfera a partir de um ou mais tubos dobrados se projecta a partir de seu equador, fazendo com que a esfera a girar. O aeolipile é o primeiro dispositivo conhecido para transformar vapor em movimento rotativo.

Heron escreveu uma série de tratados importantes sobre a mecânica. Eles dão métodos de levantamento de pesos pesados ​​e descrever máquinas mecânicas simples. Em particular, o Mechanica é baseado muito de perto em idéias devido a Arquimedes. Livro I examina como construir formas tridimensionais em uma proporção dada a uma determinada forma. Ele também examina a teoria do movimento, alguns problemas de estática, ea teoria do equilíbrio.

No Livro II Heron discute levantar objetos pesados ​​com uma alavanca, uma roldana, uma cunha, ou um parafuso. Há uma discussão sobre os centros de gravidade de figuras planas. Livro III examina métodos de transporte de objetos por meios como trenós, o uso de guindastes, e olha lagares.

Outros trabalhos têm sido atribuídas a garça-real, e para alguns destes temos fragmentos, para outros existem apenas referências. As obras para a qual fragmentos sobrevivem incluem um em relógios de água em quatro livros, e comentário sobre os Elementos de Euclides, que deve ter percorrido pelo menos o primeiro oito livros dos Elementos. Obras de Heron que são referidos, mas nenhum traço sobrevive, se incluem Camarica ou On vaultings que é mencionado por Eutocius e Zygia ou no equilíbrio mencionado por Pappus. Também no Fihrist, um levantamento século X da cultura islâmica, uma obra de Heron sobre como usar um astrolábio é mencionado.

Finalmente, é interessante olhar para as opiniões que vários escritores têm expressado quanto à qualidade e importância do Heron. Neugebauer escreve [7]: -

A decifração dos textos cuneiformes matemática deixou claro que muito do tipo "Heronic" da matemática grega é simplesmente a última fase da tradição matemática babilônica que se estende por 1800 anos.

Alguns têm considerado Heron de ser um artesão ignorantes que copiou o conteúdo de seus livros sem entender o que ele escreveu. Este em particular tem sido levantados contra o Pneumatica mas Drachmann, escrevendo em [1], diz: -

... Para mim o estilo de fluxo livre, em vez discursivo sugere um homem versado em seu assunto que está dando um rápido resumo para um público que sabe, ou que seria de esperar para saber, um bom negócio sobre ele.

Alguns estudiosos têm aprovado de habilidades práticas de Heron como um topógrafo, mas alegou que o seu conhecimento da ciência era insignificante. No entanto, Mahony escreve em [1]: -

À luz dos estudos recentes, ele aparece agora como um matemático aplicado bem-educados e, muitas vezes engenhoso, bem como uma ligação vital em uma tradição contínua de práticas matemáticas dos babilônios, através dos árabes, a Europa renascentista.

Finalmente Heath escreve em [5]: -

A utilidade prática de manuais de Heron sendo tão grande, era natural que eles devem ter grande voga, e igualmente natural que o mais popular deles, de qualquer modo deve ser re-editadas, alteradas e adicionado por escritores posteriores; isso era inevitável com livros que, como os "Elementos" de Euclides, estavam em uso regular na educação grega, bizantinos, romanos e árabes durante séculos.


Artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

abril 1999

MacTutor História da Matemática

71 - SuperAulas ENEM - Matemática - Sistemas Lineares

DIVIRTA-SE (71)

Cortando cubos

Imagine um cubo de medidas 3 x 3 x 3.

De quantos cortes precisamos para dividir este cubo em 27 cubos de medidas 1 x 1 x 1 ?

Jogos matemáticos - 71

PUZZLE PICS

Neste diferente e interessante jogo, monte um quebra-cabeças colocando as figuras nos lugares certos de acordo com a representação da fração indicada.
Tente: PUZZLE PICS

FRACTAIS (11)

Teste de gravidez

Probabilidade pode parecer algo complicado mas, assistindo este vídeo você vai perceber que não é bem assim...

*BRYSON

Bryson de Heraclea

Data de Nascimento: cerca de 450 aC, em Tarento, Heraclea (agora Taranto, Itália)
Morreu: ?

Platão e Aristóteles mencionar um matemático chamado Bryson, mas como é frequentemente o caso, não há acordo completo entre os estudiosos quanto a se estas se referem à mesma pessoa ou a duas pessoas diferentes.

Aristóteles menciona Bryson de Heraclea, que era o filho de Herodorus de Heraclea. Bryson foi um sofista e Aristóteles critica tanto para sua afirmação de que não existe tal coisa como linguagem indecente, e também para o seu método da quadratura do círculo. Nós sabemos alguns detalhes desta métodos de quadratura do círculo e, apesar das críticas de Aristóteles, foi um passo importante no desenvolvimento da matemática. A crítica de Aristóteles parece ter sido baseada no fato de que a prova de Bryson utilizado princípios gerais, em vez de os geométricos, mas é um pouco claro exatamente o que Aristóteles entende por isso.

Diógenes Laércio dá alguns outros detalhes biográficos de Bryson, mas estes não podem ser todos correta, já que a interação de Bryson com um número de filósofos é afirmado, mas alguns destes países são impossíveis devido às datas em que esses homens viviam. Talvez o mais provável dos detalhes preservadas por Diógenes Laércio é que Bryson ou era um aluno de Socrates ou de Euclides de Megara.

É um pouco difícil reconstruir exatamente o método da quadratura do círculo de Bryson foi. De acordo com Alexander Aphrodisiensis, escrevendo em cerca de 210 dC, Bryson inscrito um quadrado no círculo e circunscrito um segundo quadrado. Bryson então construído um terceiro quadrado entre o quadrado inscrito e circunscrito (mas Alexander não nos diz como esse terceiro quadrado foi construído).

Alexander, em seguida, afirma que o argumento de Bryson foi que o círculo foi intermediária entre as praças inscritas e circunscritas, a terceira praça também é intermediária entre as praças inscritas e circunscritas e, portanto, o terceiro quadrado é igual ao círculo. Alexander, em seguida, justamente salienta que este argumento de absurdo uma vez que, para usar o exemplo de Alexandre, 8 e 9 são ambos maiores do que 7 e menos de 10, mas 8 não é igual a 9.

Se de fato Alexander é certo no que ele atribui a Bryson, em seguida, sua contribuição não merecem ser incluídos neste arquivo. No entanto, outros analistas atribuem um argumento muito mais significativo para Bryson. Themistius, outro comentarista antigo, escreve que Bryson afirmou que o círculo foi maior do que todos os polígonos inscritos e menos de todos os polígonos circunscritos. Não está claro como muito bem como Bryson continuou o argumento, mas parece provável que ele estava dizendo que, ao tomar polígonos com maiores e maior número de lados então a diferença do inscrito e polígonos circunscritos poderia ser feito tão pequeno quanto nós gostamos de modo que um polígono intermediário entre eles será igual ao círculo em qualquer grau de precisão que escolhemos.

Esta seria uma melhoria no argumento de Antífona e Bryson está chegando perto do método da exaustão tão rigorosamente aplicada por Arquimedes.

Sabemos pouco mais de Bryson. Ele escreveu Diatribes qual alguns Platão acusado de roubar e de fato Bryson é reivindicado ter associados com Polyxenus que apresentaram argumentos filosóficos que aparecem em Pramenides de Platão e poderia muito bem ser os argumentos que foram reivindicados roubado de diatribes de Bryson.

Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

abril 1999

MacTutor História da Matemática

ARTE MATEMÁTICA (71)

Instituto de ciencias de la construcción Eduardo Torroja - Madrid - Espanha.


Eis aí para quem não conhece, a imagem de um dodecaedro.
Abaixo outras imagens de esculturas de dodecaedro pelo mundo afora...

Fuego del Pasillo Verde - Madrid - Espanha.

Paseo de la geometría - Punta del Este - Uruguai

70 - SuperAulas ENEM - Matemática - Sistemas de Equações e Geometria Analítica

Jogos matemáticos - 70

MATH MAN

Se você é fã de PacMan então tem tudo pra gostar deste jogo.
Resolva as operações e descubra qual fantasma você pode destruir.

MATH MAN

FRACTAIS (10)

Alice e a Lei dos Cossenos

Continuando nossa viagem pela trigonometria, desta vez você vai saber mais sobre a lei dos cossenos.

*DEMÓCRITO

Demócrito de Abdera
Data de Nascimento: cerca de 460 aC, em Abdera, Trácia, Grécia
Morreu em: cerca de 370 aC

Demócrito de Abdera é mais conhecido por sua teoria atômica, mas ele também era um excelente geômetra. Muito pouco se sabe de sua vida, mas sabemos que Leucipo foi seu professor.

Demócrito certamente, visitou Atenas, quando ele era um jovem, principalmente para visitar Anaxágoras, mas Demócrito queixou-se o quão pouco ele era conhecido lá. Ele disse que, de acordo com Diógenes Laércio escrita no AD [5] segundo século: -

Eu vim para Atenas e ninguém me conhecia.

Demócrito foi decepcionado por sua viagem a Atenas porque Anaxágoras, em seguida, um homem velho, recusou-se a vê-lo.

Como aponta Brumbaugh no [3]: -

Quão diferente ele iria encontrar a viagem de hoje, onde a principal abordagem para a cidade do nordeste passa pela impressionante "Demócrito Laboratório de Pesquisa Nuclear".

Certamente Demócrito fez muitas outras que a de Atenas viagens. Russell em [9] escreve: -

Ele viajou extensamente em terras sul e leste em busca de conhecimento, ele talvez tenha passado um tempo considerável no Egito, e certamente ele visitou a Pérsia. Ele então retornou para Abdera, onde permaneceu.

o próprio Demócrito escreveu (mas alguns historiadores contestam que a citação é fé) (ver [5]): -

De todos os meus contemporâneos eu cobri a maior parte do terreno em minhas viagens, tornando as investigações mais exaustivas do tempo; Tenho visto a maioria dos climas e países e ouviu o maior número de homens instruídos.

Suas viagens certamente o levou ao Egito e na Pérsia, como Russell sugere, mas ele quase certamente também viajou para a Babilônia, e alguns afirmam que ele viajou para a Índia e Etiópia. Certamente ele era um homem de grande aprendizado. Como Heath escreve em [7]: -

... Não havia nenhum assunto sobre o qual ele não contribuir, nomeadamente, da matemática e da física, por um lado com a ética ea poética, por outro; ele ainda atendia pelo nome de "sabedoria".

Embora pouco se sabe de sua vida, bastante é sabido de sua física e filosofia. Existem duas principais fontes para o nosso conhecimento da sua das teorias físicas e filosóficas. Em primeiro lugar Aristóteles discute as idéias de Demócrito completamente porque ele discordou fortemente com suas idéias do atomismo. A segunda fonte é na obra de Epicuro, mas, em contraste com Aristóteles, Epicuro é um crente forte na teoria atómica de Demócrito. Esta obra de Epicuro é preservada por Diógenes Laércio em seu segundo livro do século AD [5].

Certamente Demócrito não foi o primeiro a propor uma teoria atômica. Seu professor Leucippus tinha proposto um sistema atômico, como tinha Anaxágoras de Clazomenae. Em traços fato de uma teoria atômica voltar mais longe do que isso, talvez para a noção pitagórica dos sólidos regulares desempenhando um papel fundamental na composição do universo. No entanto Demócrito produziu uma visão muito mais elaborada e sistemática do mundo físico do que tinha qualquer dos seus antecessores. Sua visão é resumido em [2]: -

Demócrito afirmava que o espaço ou o Vazio, tinha o mesmo direito com a realidade, ou Ser, para ser considerado inexistente. Ele concebeu o Vazio como um vácuo, um espaço infinito em que se moveu um número infinito de átomos que compõem Ser (ou seja, o mundo físico). Esses átomos são eternos e invisíveis; absolutamente pequeno, tão pequeno que a sua dimensão não pode ser diminuído (daí o atomon nome, ou "indivisível"); absolutamente completa e incompressível, como são, sem poros e preencher completamente o espaço que ocupam; e homogêneo, diferindo apenas na forma, disposição, posição e magnitude.

Com isto como base para o mundo físico, Demócrito poderia explicar todas as mudanças no mundo como mudanças no movimento dos átomos, ou mudanças na maneira que eles foram embalados em comum. Esta era uma teoria notável que tentou explicar toda a física baseado em um pequeno número de ideias e matemática também trouxe em um papel físico fundamental, pois toda a estrutura proposta por Demócrito foi quantitativa e sujeito a leis matemáticas. Outra ideia fundamental na teoria de Demócrito é que a natureza se comporta como uma máquina, não é nada mais do que um mecanismo altamente complexo.

Há, então, perguntas para Demócrito de responder. Aonde qualidades como calor, cor e sabor se encaixam na teoria atômica? Para Demócrito átomos diferem apenas em quantidade, e todas as diferenças qualitativas são apenas aparentes e resultam de impressões de um observador causada por diferentes configurações de átomos. As propriedades do calor, cor, sabor são apenas por convenção - as únicas coisas que realmente existem são os átomos e do Vazio.

A filosofia de Demócrito contém um formulário adiantado da conservação da energia. Em seus átomos de teoria são eternos e por isso é movimento. Demócrito explicou a origem do universo através de átomos movendo-se aleatoriamente e colidindo para formar corpos e mundos maiores. Não havia lugar em sua teoria para a intervenção divina. Ao contrário, ele postulou um mundo que sempre existiu, e sempre existem, e se encheu de átomos movendo-se aleatoriamente. movimentos Vortex ocorreu devido a colisões dos átomos e resultando vortex movimento criado diferenciação dos átomos em diferentes níveis, devido apenas à sua massa diferentes. Este não era um mundo que surgiu através do projeto ou propósito de algum ser sobrenatural, mas sim que era um mundo que surgiu por necessidade, que é da natureza dos próprios átomos.

Demócrito construiu uma teoria ética no topo de sua filosofia atomista. Seu sistema era puramente determinística para que ele não podia admitir a liberdade de escolha para os indivíduos. Para Demócrito liberdade de escolha era uma ilusão, uma vez que não têm conhecimento de todas as causas de uma decisão. Demócrito acreditava que [3]: -

... A alma quer ser perturbado, de modo que o seu movimento afeta o corpo de forma violenta, ou ele vai estar em repouso, caso em que regulamenta pensamentos e ações harmoniosamente. Liberdade de perturbação é a condição que causa a felicidade humana, e este é o objetivo ético.

Demócrito descreve o bem supremo, que ele identifica com alegria, como: -

... Um estado em que a alma vive pacificamente e tranqüilamente, sem ser perturbada pelo medo ou a superstição ou qualquer outro sentimento.

Ele queria remover a crença em deuses que eram, acreditava ele, só introduziu para explicar fenômenos para os quais nenhuma explicação científica foi então disponíveis.

Muito pouco se sabe de certeza sobre as contribuições de Demócrito para a matemática. Como se afirma no Dicionário Oxford Classical: -

Pouco se sabe (embora muito está escrito) sobre a matemática de Demócrito.

Nós sabemos que Demócrito escreveu muitas obras matemáticas. Diógenes Laércio (ver [5]), enumera seus trabalhos e dá Trasilo como a fonte desta informação. Ele escreveu em números, na geometria, On tangências, On mapeamentos, On irracionais, mas nenhum desses trabalhos sobreviver. No entanto, sabemos um pouco de outras referências. Heath [7] escreve: -

No Método de Arquimedes, felizmente descoberto em 1906, somos informados de que Demócrito foi o primeiro a declarar as proposições importantes que o volume de um cone é um terço do que a de um cilindro com a mesma base e altura igual, e que o volume de uma pirâmide é um terço do que de um prisma com a mesma base e a mesma altura; isto é, Demócrito enunciou essas proposições cerca de cinquenta anos ou mais antes que eles foram os primeiros cientificamente comprovada por Eudoxo.

Há um outro pedaço intrigante de informações sobre Demócrito, que é dado por Plutarco em suas noções comuns contra os estóicos, onde ele relata um dilema proposto por Demócrito, conforme relatado pelo estóico Crisipo (ver [7], [10] ou [11]) .

Se um cone foram cortadas por um plano paralelo à base [por que significa um avião por tempo indeterminado perto da base], o que devemos pensar das superfícies formando seções? Eles são iguais ou desiguais? Pois, se eles são desiguais, eles vão fazer o cone irregular como tendo muitas reentrâncias, como degraus e desníveis; mas, se elas forem iguais, as secções serão iguais, e o cone aparece ter a propriedade de o cilindro e a efectuar-se da igualdade, não desiguais, círculos, o que é muito absurdo.

Existem idéias importantes neste dilema. Em primeiro lugar notar, como Heath aponta em [7], que Demócrito tem a idéia de um sólido que é a soma de um número infinito de planos paralelos e ele pode ter usado essa idéia para encontrar os volumes do cone e pirâmide como relatado por Arquimedes. Essa idéia de Demócrito pode ter levado Archimedes depois de aplicar a mesma idéia com grande efeito. Esta ideia acabaria por levar a teorias da integração.

Há muita discussão em [7], [8], [10] e [11] quanto ao facto de Demócrito a distinção entre o continuum geométricas e discreta física do seu sistema atômico. Heath salienta que, se Demócrito transitadas sua teoria atômica para linhas geométricas, então não há dilema para ele desde o seu cone é mesmo reforçada com passos tamanho de um átomo. Heath certamente acreditava que a linhas de Demócrito eram infinitamente divisível. Outros, ver, por exemplo [10], têm chegado à conclusão oposta, acreditando que Demócrito fez contribuições para os problemas de matemática aplicada, mas, por causa de sua teoria atômica, ele não poderia lidar com as questões infinitesimais decorrentes.

Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

janeiro 1999

MacTutor História da Matemática

69 - SuperAulas ENEM - Matemática - Progressões Aritmética e Geométrica

Jogos matemáticos - 69

NUMBER BONDS 40

Acerte os número de modo que somem 40 com o seu projétil.
Você consegue?
Tente.

NUMBER BONDS 40

FRACTAIS (9)

Um caminho para o curral

O principio da trigonometria está no triângulo retângulo.
Saiba mais sobre isso assistindo este vídeo.

*LEUCIPO

Leucipo de Mileto


Data de Nascimento: cerca de 480 aC na (possivelmente) Mileto, na Ásia Menor
Morreu em: cerca de 420 aC


Leucipo de Mileto realizado na filosofia científica, que tinha começado a associar-se com Mileto. Sabemos pouco de sua vida, mas pensa-se que o fundador da Escola de Abdera, na costa da Trácia, perto da foz do rio Nestos. Hoje a cidade é na Grécia e é chamado Avdhira. No momento em que Leucipo teria vivido em Abdera era uma cidade próspera, que politicamente era um membro da Liga de Delos.


O filósofo Protágoras nasceu em Abdera e ele foi contemporâneo de Leucipo mas Protágoras, o primeiro dos sofistas, passou a maior parte de sua vida em Atenas e pode ter deixado Abdera antes Leucipo chegou lá. Embora agora parece haver pouca dúvida de que Leucipo existia, vale a pena observar que Epicuro, no final do século IV aC, realmente acreditava que Leucipo nunca tinha existido desde tão pouco era conhecido dele. No entanto, agora sabemos o suficiente na forma de evidência independente para ter certeza de que Leucipo existia.


Aristóteles refere-se a Leucipo como filósofo com bastante diferentes pontos de vista para os de Parmênides. Aristóteles se refere a ele várias vezes e citações de seus trabalhos sobre uma série de ocasiões. Por exemplo, em De caelo Aristóteles escreve: -


... Daqueles que têm mantido a existência dos indivisíveis, alguns, como, por exemplo Leucipo e Demócrito, acredite em corpos indivisíveis e outros, como Xenocrates, em linhas indivisíveis.


Infelizmente Aristóteles não é inteiramente consistente em suas referências a Leucipo. Algumas citações sugerem que o atomismo começou com Leucipo, outras citações, como o descrito acima suporte de Leucipo e Demócrito, enquanto em alguns lugares Aristóteles parece implicar que somente Demócrito inventou o atomismo.


Certamente parece que Leucipo foi muito influenciado em seu pensamento por Zenão de Elea e por Parmênides, mas parece pouco provável que haja alguma verdade na alegação mais tarde que ele era um aluno de Zenão de Elea. O mais provável é que escritores mais tarde percebeu que Leucipo seguido idéias de Zenão e 'aluno' foi concebido neste sentido.


Pensa-se que Demócrito era um aluno de Leucipo, onde desta vez 'aluno' realmente tem o seu significado padrão. Juntos, eles são considerados como os fundadores conjunta da teoria atômica. Leucipo afirmou que os átomos são [7]: -


..., Imperceptíveis partículas individuais que diferem apenas na forma e posição.


A mistura dessas partículas dá origem ao mundo que experimentamos. A razão por que alguns dos primeiros escritores não acreditava na existência de Leucipo parece ser porque seus pontos de vista e as de Demócrito ficou completamente entrelaçados. Muito em breve o conjunto ficou atribuída a Demócrito, que foi o mais famoso do par. Parece provável que Demócrito como um aluno de Leucipo, desenvolveu as idéias de seu professor, mas é muito além de nós desembaraçar as contribuições de cada um para esta importante doutrina.


Duas obras, quase certamente escritos por Leucipo, são os grandes Sistema Mundial e sobre a mente. A primeira delas é atribuída a Leucipo de Teofrasto. Theophrastus (cerca de 372 aC - 287 aC) foi um aluno de Aristóteles, que tinha estudado em Atenas sob Aristóteles. Theophrastus tornou-se chefe do Liceu em Atenas depois de Aristóteles, em 323 aC. Ele estava em uma posição para ser capaz de distinguir as obras de Leucipo dos de Demócrito e vamos descrever suas impressões sobre esta matéria.


Theophrastus afirmou que as ideias básicas do atomismo estavam presentes na filosofia de Leucipo segundo a qual [1]: -


Tanto a matéria e sem efeito têm existência real. Os constituintes da matéria são elementos em número infinito e sempre em movimento, com uma infinita variedade de formas, completamente sólida na composição.


De acordo com Diógenes Laércio, a cosmologia apresentadas por Leucipo em O Grande Sistema Mundial é uma criação de mundos por aglomerações de átomos por colisões casuais. Não é, em seguida, a diferenciação com os átomos menores sendo expulso para o infinito de espaço, enquanto o restante em forma de uma estrutura esférica com os átomos maiores no centro e os átomos menores mais longe do centro.


A partir do tratado sobre a mente, temos a única citação das palavras de Leucipo que sobreviveram. Neste trabalho, ele escreve (ver por exemplo [8]): -


Nada acontece em vão, mas tudo da razão e da necessidade.


Leucippus também contribuiu para o método de exaustão.


Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson


abril 1999


MacTutor História da Matemática

68 - SuperAulas ENEM - Matemática - Prismas Notáveis

Jogos matemáticos - 68

THE X DETECTIVES

Neste jogo de espionagem cada tarefa matemática realizada vai te habilitar a cumprir sua missão.

Não se demore!

Mostre sua capacidade de investigador clicando em: THE X DETECTIVES

FRACTAIS (8)

Os ângulos e as torres

A trigonometria está em muitos lugares inclusive... nas construções.
Assista e observe...

*HIPIAS

Hípias de Elis

Data de Nascimento: cerca de 460 aC, em Elis, Peloponeso, Grécia
Morreu em: cerca de 400 aC

Hípias de Elis foi um estadista e filósofo que viajou de lugar para lugar tirar dinheiro por seus serviços. Ele deu palestras sobre poesia, gramática, história, política, arqueologia, matemática e astronomia. Platão descreve-o como um homem vão sendo tanto arrogante e prepotente, tendo uma ampla mas superficial conhecimento. Heath nos diz algo sobre esse personagem quando ele escreve em [3]: -

Ele alegou ... ter ido uma vez para o festival olímpico com tudo o que ele usava feita pelo próprio, anel e sandália (gravado), óleo de garrafa, raspador, sapatos, roupas e um cinto persa do tipo caro; ele também teve poemas, épicos, tragédias, dithyrambs, e todos os tipos de trabalhos em prosa.

Quanto aos resultados académicos de Hípias, Heath escreve: -

Ele era um mestre da ciência do cálculo, geometria, astronomia, 'ritmos e harmonias e escrita correta'. Ele também tinha um maravilhoso sistema de mnemônicos, permitindo-se que uma vez ouviu uma série de cinqüenta nomes para lembrar de todos eles.

Um pouco agradável história, que diz mais dos espartanos que ele faz de Hípias, é que ele foi relatado que ele não recebeu nenhum pagamento para as palestras que ele deu em Esparta uma vez que [3]: -

... Os espartanos não podiam suportar palestras sobre astronomia ou a geometria ou cálculo; que era apenas uma pequena minoria deles que poderia mesmo contar; o que eles gostavam era história e arqueologia.

Desde Hípias foi relatado para dar palestras sobre arqueologia, ele parece ter escolhido os temas errados quando lecionou em Sparta!

única contribuição de Hípias à matemática parece ser a quadratrix que pode ter sido usado por ele para triseccionar um ângulo e quadratura do círculo. A curva pode ser usado para dividir um ângulo em qualquer número de partes iguais. Talvez o maior elogio que podemos pagar para Hípias é informar sobre os argumentos de certos historiadores da matemática que alegaram que as Hípias que descobriram o quadratrix não pode ser Hípias de Elis desde a geometria não era suficientemente avançada neste momento que deixar que ele para fazer essas descobertas. No entanto, seus argumentos não são geralmente aceites e há ampla evidência de atribuir a descoberta do quadratrix a Hípias de Elis.

Heath [3] escreve: -

Ele foi, provavelmente, cerca de 420 aC que Hippias de Elis inventou a curva conhecida como o quadratrix com a finalidade de triseccionar qualquer ângulo.

No entanto, isto está longe de ser certo e há alguma evidência para sugerir que Geminus, escrevendo no primeiro século aC, tinha em sua posse um tratado por Hípias de Elis na quadratrix que indicou como poderia ser usado para a quadratura do círculo. Se este for realmente o caso, então o tratado por Hípias deve ter sido perdido entre este tempo e que de Sporus no terceiro século dC.

Pappus escreveu sua grande obra sobre geometria Synagoge em 340. É uma coleção de escritos matemáticos em oito livros. Livro IV contém uma descrição do quadratrix de Hípias.

Olhe para o diagrama do quadratrix.

ABCD é um quadrado e cama é parte de um círculo, centro de Um raio AB. Como o raio AB gira em torno de A para mover para a posição de AD, em seguida, a linha BC move ao mesmo paralelo taxa de si para terminar em AD. Em seguida, o locus do ponto de intersecção F do raio de rotação AB e BC a linha em movimento é o quadratrix. Conseqüentemente

ângulo EAD / ângulo BAD = arco ED / CAMA arc = FH / AB,

assim, tendo AB = 1,

ângulo de EAD = arco ED = FH × π / 2.

Para dividir o FAD ângulo em uma determinada relação, digamos p: q, em seguida, desenhar um ponto P sobre a linha FH dividindo-o na proporção p: q.
Desenhar uma linha através de P paralelo ao AD para atender a quadratrix pelo P. Então AQ divide ângulo FAD na proporção p: q.

Pappus também dá a versão um pouco mais complicada da construção necessária a quadratura do círculo. No entanto, Pappus relata que Sporus tinha duas críticas do método de Hípias com o qual ele concorda. O segundo é especificamente relacionado com a construção necessário para a quadratura do círculo que não temos descrito. A primeira refere-se no entanto à construção da própria quadratrix. Pappus relata que Sporus escreve (ver [3]): -

A mesma coisa para a qual a construção é pensado para servir é realmente assumido na hipótese. Para saber como é que é possível, com dois pontos a partir de B, para fazer um deles se movem ao longo de uma linha reta para A e o outro ao longo de uma circunferência para D em um tempo igual, a menos que você primeiro conhecer a relação entre a linha reta AB para BED circunferência? De facto, esta relação deve também ser a de as velocidades de movimento. Pois, se você empregar velocidades definitivamente não ajustados a esta relação, como você pode fazer os movimentos terminam no mesmo momento, a menos que isso deve acontecer em algum momento por puro acaso? não é a coisa assim, demonstrou ser um absurdo?

O ponto aqui parece ser uma questão de o que exatamente Hípias está tentando mostrar com seu quadratrix. Certamente ele sabia perfeitamente bem que ele não estava fornecendo uma construção régua e compasso para a quadratura do círculo. Exatamente o que ele provou relativa a quadratura do círculo é, como Pappus e Sporus sugerem, longe de ser claro.

Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

janeiro 1999

MacTutor História da Matemática

67 - SuperAulas ENEM - Matemática - Princípio Fundamental da Contagem

DIVIRTA-SE (67)

Resolva o seguinte (cada letra é um algarismo):

CAT = (C + A + T) × C × A × T

Jogos matemáticos - 67

RAINBOW MECHANIC

Posicione os espelhos de modo a desviar o raio de luz.
Se você tiver sucesso, vai atingir o prisma. Senão...
Tente!
RAINBOW MECHANIC

FRACTAIS (7)

A loira do banheiro

Você sabe o que é criptografia?
Não?
Então não perca tempo!
Vamos juntos assistir este vídeo e ficar por dentro do assunto...

*TEODORO DE CIRENE

Teodoro de Cirene

Data de Nascimento: 465 aC, em Cyrene (agora Shahat, Líbia)
Morreu em: 398 aC, em Cyrene (agora Shahat, Líbia)

Teodoro de Cirene foi aluno de Protágoras e se o tutor de Platão, ensinando-lhe a matemática, e também o tutor de Theaetetus. Platão viajou de e para o Egito e em tais ocasiões, ele passou um tempo com Theodorus em Cirene. Theodorus, no entanto, não gastar toda a sua vida em Cyrene pois ele foi certamente em Atenas num momento em que Sócrates estava vivo.

Theodorus, além de seu trabalho em matemática, [5] foi: -

... Distinguido ... em astronomia, aritmética, música e todos os assuntos educacionais.

Um membro da sociedade de Pitágoras, Theodorus foi um dos principais filósofos da escola Cyrenaic da filosofia moral. Ele acreditava que os prazeres e as dores não são nem boas nem más. Alegria e sabedoria, acreditava ele, eram suficientes para a felicidade.

Nosso conhecimento da Theodorus vem através de Platão que escreveu sobre ele em sua obra Theaetetus. Theodorus é lembrado por matemáticos por sua contribuição para o desenvolvimento dos números irracionais e é esse aspecto de seu trabalho que Platão descreve (ver por exemplo [5]): -

[Theodorus] estava provando para nós uma certa coisa sobre raízes quadradas, refiro-me ao lado (ou seja root) de um quadrado de três unidades de quadrados e de cinco unidades quadrados, que essas raízes não são comensuráveis ​​de comprimento com a unidade de comprimento, e ele continuou desta forma, tendo todos os casos separados até a raiz de dezessete unidades quadradas, altura em que, por alguma razão, ele parou.

Todo o nosso conhecimento das realizações matemáticas de Theodorus são dadas por esta passagem de Platão. No entanto, existem pontos de interesse que possam surgir imediatamente. O primeiro ponto é que Platão não creditar Theodorus com uma prova de que a raiz quadrada de dois era irracional. Este deve ser porque √2 foi provado irracional antes Theodorus trabalhou no problema, alguns afirmam isso foi provado pelo próprio Pitágoras.

Não há dúvida de que Theodorus teria construído linhas de comprimento √3, √5 etc. usando o teorema de Pitágoras. É também claro que Theodorus não tinha resultado geral aqui, para Platão continua a descrever como os resultados de Theodorus inspirado Theaetetus e Sócrates a olhar para generalizações: -

A ideia ocorreu a nós dois (Theaetetus e Sócrates), vendo que essas raízes quadradas parecia ser ilimitada em multidão, para tentar chegar a um termo coletivo pelo qual poderíamos designar todas essas raízes ....

Portanto, a questão que naturalmente vem a seguir é como é que Theodorus provar que √3, √5, ..., √17 eram irracionais, sem dar uma prova que provam claramente que qualquer número não-quadrado era irracional. A prova usual que √2 é irracional, ou seja, aquela que supõe que √2 = p / q onde p / q é um racional em seus termos mais baixo e deriva uma contradição, mostrando que p e q são ambos ainda, teria sido conhecido para Theodorus. Esta prova generaliza facilmente (por matemáticos modernos pensando em termos de números em vez de comprimentos) para mostrar √n é irracional para qualquer n não-quadrado. É quase impossível conceber que Theodorus teria usado esta prova em cada uma √3, √5, ..., √17 sem obter um teorema geral muito antes de ele chegou a 17.

Uma proposta interessante foi feita por Zeuthen em 1915. Ele sugeriu que Theodorus pode ter usado o resultado que mais tarde iria aparecer em Elementos de Euclides a saber: -

Se, quando o menor de dois magnitudes desiguais é continuamente subtraído por sua vez, da maior, o que é nunca deixou mede o anterior, as magnitudes será incomensurável.

Heath [5] ilustra a utilização deste resultado mostrar que √5 é irracional. Comece com 1 e √5.

√5 / 1 = 2 + (√5-2)
1 / (√5-2) = 4 + (√5-2) 2
(√5-2) / (√5-2) 2 = 1 / (√5-2) = 4 + (√5-2) 2
.......

O processo agora claramente falha para terminar uma vez que a proporção 1: (√5-2) é o mesmo que (√5-2): (√5-2) 2. Heath [5] dá uma versão geométrica deste, começando com um triângulo retângulo com lados 1, 2 e √5 que podem estar perto do método que Theodorus usado. No entanto, há pouca chance de fazer mais do que adivinhar o método de Theodorus.

Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

janeiro 1999

MacTutor História da Matemática

66 - SuperAulas ENEM - Matemática - Porcentagem

DIVIRTA-SE (66)

Quebra-cabeça de aniversário

Quando perguntado sobre o seu aniversário, um homem disse:

"Anteontem eu tinha apenas 25 anos e no próximo ano eu vou fazer 28."

Isto é verdade apenas um dia em um ano - quando ele nasceu?

Jogos matemáticos - 66

HUNGRY PUPPIES

E que tal treinar operações com números decimais participando deste jogo?
Basta escolher os decimais de acordo com a soma indicada.
mas, cuidado com o tempo!!
HUNGRY PUPPIES

FRACTAIS (6)

As aventuras de Radix

Vamos aprender mais sobre a geometria da esfera?

*HIPÓCRATES

Hipócrates de Chios

Data de Nascimento: cerca de 470 aC, em Chios (agora Khios), Grécia

Morreu em: cerca de 410 aC

Hipócrates de Chios ensinou em Atenas e trabalhou nos problemas clássicos da quadratura do círculo e duplicação do cubo. Pouco se sabe sobre sua vida, mas ele é relatado para ter sido um excelente geômetra que, em outros aspectos, era estúpida e sem sentido. Alguns afirmam que ele foi defraudada de uma grande soma de dinheiro por causa de sua ingenuidade. Iamblichus [4] escreve: -

Um dos pitagóricos [Hipócrates] perderam os seus bens, e quando esta desgraça se abateu sobre ele que ele foi autorizado a fazer dinheiro ensinando geometria.

Heath [6] narra duas versões dessa história: -

Uma versão da história é que [Hipócrates] era um comerciante, mas perdeu todos os seus bens através de ser capturado por um navio pirata. Ele então veio a Atenas para perseguir os criminosos e, durante uma longa estadia, assistiram a palestras, finalmente, alcançar a proficiência em geometria que ele tentou fazer a quadratura do círculo.

Heath também relata uma versão diferente da história contada por Aristóteles: -

... Ele se permitiu ser defraudada de uma grande soma por oficiais da alfândega em Bizâncio, provando assim, na opinião de Aristóteles, que, apesar de uma boa geômetra, ele era idiota e incompetente nos negócios da vida cotidiana.

A sugestão é que essa "longa estadia" em Atenas foi entre cerca de 450 aC e 430 aC.

Nas suas tentativas de quadratura do círculo, Hipócrates era capaz de encontrar as áreas de segunda-feira, certas figuras em forma de crescente, usando o teorema de que a relação entre as áreas de dois círculos é a mesma que a relação dos quadrados dos seus raios. Descrevemos essa conquista impressionante forma mais completa abaixo.

Hipócrates também mostrou que um cubo pode ser duplicada, se duas grandezas proporcionais média pode ser determinada entre um número e seu duplo. Isto teve uma influência importante na tentativa de duplicar o cubo, todos os esforços após esta sendo dirigida para o problema média proporcionais.

Ele foi o primeiro a escrever um Elementos de Geometria e embora o seu trabalho já está perdida, deve ter contido muito do que Euclides posteriormente incluído em Livros 1 e 2 dos Elementos. Proclus, o último grande filósofo grego, que viveu por volta de 450 dC, escreveu: -

Hipócrates de Chios, o descobridor da quadratura do lune, ... foi o primeiro dos quais está registrado que ele realmente compilado "Elements".

o livro de Hipócrates também incluídas as soluções geométricas para equações quadráticas e incluiu métodos iniciais de integração.

Eudemo de Rodes, que foi discípulo de Aristóteles, escreveu História da Geometria em que ele descreveu a contribuição de Hipócrates em lunes. Este trabalho não tem sobrevivido, mas Simplício da Cilícia, escrevendo em torno de 530, teve acesso ao trabalho de Eudemus e citou a passagem sobre os lunes de Hipócrates 'palavra por palavra, exceto para algumas adições' tiradas de Elementos de Euclides para fazer a descrição mais clara.

Vamos primeira citação parte da passagem de Eudemo sobre o lunes de Hipócrates, seguindo os historiadores da matemática que desembaraçadas as adições de elementos de Euclides, que Simplício acrescentou. Ver [6], tanto para a tradução que damos e para uma discussão de quais as partes são devidos a Eudemus: -

As quadraturas de segunda-feira, que foram considerados como pertencendo a uma classe incomum de proposições em razão da estreita relação da lunes para o círculo, foram investigados pela primeira vez por Hipócrates, e sua exposição foi pensado para ser correta; por isso, iremos lidar com eles em comprimento e descrevê-los. Ele começou com, e deitou-se como o primeiro dos teoremas úteis para o efeito, a proposição de que segmentos semelhantes de círculos têm a mesma relação entre si como os quadrados em suas bases. E isso ele provou pela primeira exibição que os quadrados dos diâmetros têm a mesma proporção que os círculos.

Antes de continuar com a citação que deve ter notado que Hipócrates está tentando "um quadrado lune 'pelo qual ele significa para construir um quadrado igual na área ao lune. Este é precisamente o que o problema da "quadratura do círculo" significa, ou seja, para a construção de um quadrado cuja área é igual à área do círculo. Novamente seguinte tradução de Heath em [6]: -

Depois de provar isso, ele passou a mostrar de que forma foi possível um quadrado lune o perímetro exterior das quais é a de um semicírculo. Isto ele afectado por circunscrever um semicírculo sobre um triângulo rectângulo isósceles e um segmento de um círculo semelhantes aos cortada pelos lados. Então, uma vez que o segmento sobre a base é igual à soma dos outros sobre os lados, segue-se que, quando a parte do triângulo acima do segmento sobre a base é adicionada para ambos os semelhantes, a lune será igual ao triângulo. Portanto o lune, tendo sido provada igual ao triângulo, pode ser quadrado.


Para acompanhar argumento de Hipócrates aqui, olhar para o diagrama.

ABCD é um quadrado e O é seu centro. Os dois círculos no diagrama são o círculo com centro O que passa por A, B, C e D, e o círculo com centro D por A e C.

Aviso primeira que o segmento marcado 1 na AB subtende um ângulo reto no centro do círculo (o ângulo AOB), enquanto o segmento 2 na CA também subtende um ângulo reto no centro (o ADC ângulo).

Por conseguinte, o segmento 1 de AB e o segmento 2 na AC são semelhantes. Agora
segmento 1/2 = segmento AB2 / AC2 = 1/2 desde AB2 + BC2 = AC2 pelo teorema de Pitágoras, e AB = BC de modo AC2 = 2AB2.

Agora, uma vez que o segmento 2 é um segmento de duas vezes, o segmento 2 é igual à soma dos dois segmentos marcados 1.

Então Hipócrates argumenta que o ABC semicírculo com os dois segmentos 1 removido é o triângulo ABC, que pode ser elevado ao quadrado (que era conhecido como construir um quadrado igual a um triângulo).

No entanto, se subtraia o segmento 2 do ABC semicírculo temos a lune mostrado no segundo diagrama. Assim Hipócrates provou que a lune pode ser elevado ao quadrado.

No entanto, Hipócrates foi mais longe do que isso no estudo lunes. A prova examinámos em pormenor é aquele em que a circunferência externa do lune é o arco de um semicírculo. Ele também estudados os casos em que o arco exterior era menos do que a de um semicírculo e também o caso em que o arco exterior era maior do que um semicírculo, que mostra em cada caso que a lune poderia ser quadrado. Esta foi uma conquista notável e um grande passo na tentativa de quadratura do círculo. Como Heath escreve em [6]: -

... Ele desejava mostram que, se os círculos não poderia ser quadrado por estes métodos, podem ser empregues para determinar a área de algumas figuras limitadas por arcos de círculos, ou seja, determinadas lunes, e ainda da soma de uma determinada círculo e um certo lune.

Existe mais um feito notável que os historiadores da matemática acreditam que Hipócrates conseguida, mas não temos uma prova direta desde que seus trabalhos não tenham sobrevivido. No estudo da lunes de Hipócrates, como descrito por Eudemus, ele usa o teorema de que círculos estão entre si como os quadrados em seus diâmetros. Este teorema é provado por Euclides nos Elementos e está provado há pelo método de exaustão devido à Eudoxus. No entanto, Eudoxus nasceu dentro de poucos anos da morte de Hipócrates, e assim segue-se a questão intrigante de como Hipócrates provou este teorema. Desde Eudemus parece inteiramente satisfeito que Hipócrates tem de facto uma prova correta, parece quase certo a partir desta evidência circunstancial de que podemos deduzir que o próprio Hipócrates desenvolveram pelo menos uma variante do método da exaustão.

Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

janeiro 1999

MacTutor História da Matemática

65 - SuperAulas ENEM - Matemática - Porcentagem

A palavra é ... TRIGONOMETRIA

         Palavra de origem grega: tri (três) + gonía (ângulo) + métron (medida). Do latim trigonometria, refere-se às medidas feitas no triângulo (trígonon). Esse termo é devido a Bartolomeu Pitiscus, que publicaria em 1595 seu famoso: Trigonometriae Sive de Solutione Triangulorum Tractaus Brevis et Perspicuus. A segunda edição desse livro foi publicada em 1600 com o pomposo e sonoro título: Trigonometrae Sive de Dimensione Triangulorum Libri Quinque. Pitiscus, com seu trabalho, influenciaria gerações e gerações de matemáticos.               Por vezes pensa-se que a origem da Trigonometria está exclusivamente ligada à resolução de situações de medição de terrenos ou determinação de medidas sobre a superfície da terra. No entanto,enquanto ramo do conhecimento científico,  é impossível separar a Trigonometria da Astronomia. Daí que o seu desenvolvimento como ciência exacta viesse a exigir medições e cálculos de grande precisão. É neste contexto que o astrónomo grego Hiparco de Niceia (180-125 a.C.) é considerado o fundador da Trigonometria. Foi ele que introduziu as medidas sexagesimais  em Astronomia e elaborou a primeira tabela trigonométrica. Hiparco utilizou a trigonometria para fazer medições, prever eclipes, fazer calendários e na navegação.

       A Trigonometria tem como objectivo principal o estudo das relações entre lados e ângulos de um triângulo e constitui instrumento indispensável na resposta a necessidades da Astronomia e ainda da navegação, cartografia e da topografia.

Fontes:
Dicionário Etimológico
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm32/historia.htm

Jogos matemáticos - 65

SEESAW LOGIC

Em cada fase deste jogo, uma ou várias balanças são apresentadas com pesos diversos para que você  determina: Qual é o mais pesado?
Acha que consegue?
Então clique: SEESAW LOGIC

FRACTAIS (5)

Máscara Phi

       Olá, pessoal.

Hoje, por sugestão da nossa aluna Clara Martins do 3º ano E,

nosso blog traz uma matéria muito interessante que faz conexão

entre a Matemática e, quem diria, o conceito de beleza.

Espero que apreciem...  

 

 

 

O padrão de beleza idealizado pela sociedade faz com que as pessoas busquem incansavelmente
atingi-lo. Assim, os olhos humanos se adaptaram a diferenciar o que seria belo e o que seria feio.
Para determinar se um rosto é realmente bonito, o cirurgião plástico Steven Marquardt criou uma
máscara, denominada Máscara Phi, fundamentada em sequências matemáticas.
 

Uma pessoa decidiu fazer um vídeo mostrando como seria um rosto perfeito, transformando o rosto

de uma garota no Photoshop, com base na máscara da beleza.

Os textos que li indicam que essa máscara seria não somente para verificar as melhores opções para

ter um rosto ideal, mas também para ajudar a reconstruir o rosto de pessoas que sofreram algum

acidente. Essa máscara, seria ainda, um desejo de construir outras máscaras, talvez separadas por

etnias e idades.

No site Marquardt Beauty Analysis eles disponibilizam a máscara para download de frente e de lado,
além de indicar como ela deve ser usada.

Pra quem ficou curioso sobre o vídeo que falei acima, aqui está:

O nome Phi (F) foi originado em homenagem ao escultor e arquiteto Fídias responsável por estruturar

o Parhernon. Essas sequências matemáticas são baseadas no “triângulo de ouro”, tendo a relação do

lado maior pelo lado menor de 1,618. A máscara é feita e projetada encima do rosto, de modo que

seja possível analisar o que é necessário mudar para deixar o rosto perfeito. 

Na antiguidade os egípcios já utilizavam dessa técnica para criar suas estruturas, assim como o

Parthenon. Para isso, no ano de 1200 já era conhecida a “sequência de Fibonacci” contendo a

proporção que os cientistas perceberam que está presente em tudo que é notado na natureza.

A relação é: 1,2,3,5,8,13,21,34.

A rotulada fórmula da beleza também foi criada, veja:

A altura da testa = altura do nariz ;

Altura do nariz = 1/3 inferior rosto; 

Largura do nariz = largura dos olhos; 

Distância interocular = largura do nariz;

Distância entre os olhos = largura dos olhos;

Largura da boca = 1,5 x largura do nariz (Maquardt considera 1,618 - proporção Phi);

Largura da face = 4 x largura do nariz.

- See more at: http://www.esteticas.com.br/mascara_phi.htm#sthash.L3ItGA5N.dpuf

 

Fonte:  http://www.keepcalmdiy.com/2014/03/como-e-um-rosto-perfeito-mascara-de.html

http://www.esteticas.com.br/mascara_phi.htm

 

 

De malas prontas

Desta vez veremos dois outros conceitos muito importantes na Análise Combinatória: princípio fundamental da contagem e fatorial.

*ANTÍFON

Antífon o sofista

---

Nascimento: em 480 aC (possivelmente) Atenas, Grécia
Morte: 411 aC, em Atenas, Grécia

---

Antífon era um orador e estadista que assumiu a retórica como uma profissão. Ele era um sofista e um contemporâneo de Sócrates. Estas afirmações definitivas são, no entanto, contestada por alguns historiadores. O problema parece girar em volta se havia um filósofo sofista chamado Antífon que viveu em torno deste tempo, ou se há dois, ou como alguns especialistas afirmam, três Antiphons distintos.

No que se segue vamos supor que, pelo menos, o orador chamado Antífon era a mesma pessoa que o sofista que fez os avanços matemáticos. Esta é a mesma linha que tomado em [1], enquanto em [2] só Antífon como orador é discutido sem referência às obras filosóficas ou matemáticas. Em [7] a hipótese de que Antífon é um, ou vários homens diferentes é discutido, sem qualquer ponto de vista definitivo sendo preferido de qualquer maneira.

Uma série de discursos que foram escritos por Antífon foram preservados. Três desses discursos eram discursos reais feitas por Antífon como o Ministério Público, em julgamentos de assassinato. Doze discursos são espécime discursos escritos por Antífon para uso em ensinar aos alunos as habilidades de perseguir e defender os clientes em casos. Os discursos vêm como três coleções de quatro, dois discursos de acusação e dois discursos de defesa para cada um dos três casos diferentes.

Antífon publicou uma série de obras sobre filosofia que foram perdidos com exceção de um pequeno número de fragmentos que foram descobertos juntamente com algumas citações de obras nos escritos de outros autores. Estas obras incluem Na verdade, Em Concord, The Statesman, e na Interpretação dos Sonhos. A obra Sobre Verdade é escrito para suportar os pontos de vista de Parmênides, que acreditavam que não havia uma única realidade única e que o mundo aparente de muitas coisas era irreal. Neste trabalho Antífon está defendendo as mesmas idéias filosóficas que Zenão de Elea suportados com seus paradoxos.

Em Concord Antífon [1]: -

... defende a autoridade da comunidade como uma salvaguarda contra a anarquia e recomenda os ideais de concórdia e de auto-contenção, tanto no seio das comunidades e dentro da alma individual. Muito provavelmente ele estava apenas preocupado em criticar as leis de uma cidade, pedindo ou não satisfazer as necessidades "naturais" do indivíduo.

Hobbs em [7] observa que: -

... alguns duvidaram se o mesmo homem poderia ter escrito "Sobre Verdade" e os aforismos convencionais de "Concord".

Em [7] três razões são dadas para suportar, no mínimo, o mesmo autor para estas duas obras filosóficas: -

(1) "Na verdade" não é tão radical quanto parece, mas simplesmente um apelo por reforma legal;

(2) suas doutrinas, apesar de radical, não são endossados ​​por Antífon;

(3) Antífon mudou de idéia.

Finalmente, enquanto discutindo que trabalha foram escritos por Antífon vale a pena observar que alguns historiadores rejeitam a idéia de que Antífon escreveu as duas outras obras atribuídas a ele The Statesman e Em Interpretação dos Sonhos.

Antífon fez uma contribuição inicial e importante para a matemática, quando ele fez uma tentativa de quadratura do círculo. Ao fazer isso ele se tornou o primeiro a propor um método de exaustão, embora não seja totalmente claro o quão bem ele entendeu a sua própria proposta. Propôs dobrar sucessivamente o número de lados de um polígono regular inscrito um círculo de modo que a diferença nas zonas eventualmente se esgotar.

Sabemos do seu trabalho através de Aristóteles e seus comentadores. Aristóteles afirma que um geômetra apenas precisa de mostrar que os falsos argumentos são falsos, se eles são baseados em geometria, caso contrário ele pode ignorá-los. Aristóteles escreveu em seuFísica (ver por exemplo [4]): -

... portanto, é o negócio do geômetra para refutar a quadratura por meio de segmentos, mas não é o seu negócio para refutar o de Antífon.

No caso de o leitor está se perguntando o que Aristóteles refere-se a com a frase "quadratura por meio de segmentos", então é quase certo que ele quer dizer o método de lunes de Hipócrates.

No entanto Simplício não conseguiu entender corretamente o que Antífon estava fazendo.Ele pensou que estava Antífon alegando ter quadrado do círculo. Ele escreveu (tradução de Heath dada em [4]): -

Antífon pensou que deste modo a área do círculo será usado, e que devem de algum tempo ter um polígono inscrito no círculo dos lados da qual, devido à sua pequena dimensão, coincidir com a circunferência do círculo.E como podemos fazer um quadrado igual a qualquer polígono ...estaremos em uma posição para fazer um quadrado igual a um círculo.

No entanto, segundo Heath, este não era o que Antífon alegou [4]: ​​-

Portanto Antífon merece um lugar de honra na história da geometria como tendo se originado a idéia de esgotar uma área por meio de polígonos regulares inscritos com um número cada vez maior de lados, uma ideia sobre a qual ... Eudoxus fundou seu método época de tomada de exaustão.

Kerferd em [1] sugere que Antífon pode ter considerado um círculo como um polígono com um grande número de lados: -

Nos tempos modernos, muitas vezes tem sido suposto que Antífon estava simplesmente fazendo um grande erro na geometria por supor que qualquer aproximação poderia elevar-se a coincidência entre um polígono com entretanto muitos lados e uma circunferência continuamente curva de um círculo curvo. .

.. Esta pode não ser a visão correta a tomar. Antífon parece ter acreditado que completa coincidência poderia ser alcançado por seu método ... Isso pode significar que Antífon considerado o círculo como um polígono com um grande ( ou possivelmente infinito ) número de lados.

Antífon estava envolvido em uma revolução anti-democrático, que falhou. Tucídides em sua famosa História acredita que Antífon era o líder da revolução [2]: -

[ Antífon ] concebeu toda a matéria e os meios pelos quais ele foi trazido para passar.

Apesar de sua profissão como um escritor de discursos de defesa, seu brilhante discurso, descrita por Tucídides como: -

... o maior já feito por um homem em julgamento por sua vida ...

não conseguiu salvá-lo quando ele foi julgado por traição e ele foi executado.

Adaptado de um artigo de J J O'Connor and E F Robertson

64 - SuperAulas ENEM - Matemática - Pirâmide, Cone e Esfera

A palavra é...ÁLGEBRA

Do Árabe AL-JABR, “redução, reunião de partes quebradas”, usado no século XVI pelo matemático de Bagdá Al-Qwarizmi no título de seu tratado sobre as equações. Está fora de uso atualmennte o sentido de “tratar ossos fraturados”.

Em matemática, álgebra é o ramo que estuda a manipulação formal de equações, operações matemáticas, polinómios e estruturas algébricas.

Fonte: Origem da palavra - http://origemdapalavra.com.br , Wikipedia.

DIVIRTA-SE (64)

Quantos triângulos de todos os tipos e tamanhos você consegue ver na figura abaixo?

Jogos matemáticos - 64

PUMPKIN MULTIPLES

Movimente seu fantasma para que ele recolha os múltiplos do número que você escolheu.
Será que você é rápido o bastante?
PUMPKIN MULTIPLES