15 - Progressão Geométrica I - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (15)

     Se a soma das figuras em cada linha e em cada coluna tem o valor indicado pelos números em volta do quadrado, qual o valor de cada figura?

Jogos matemáticos -15

WHAT'S YOUR SIGN?

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Sem perceber, todos matematizam. Até as plantas

Por Luiz Barco

 

É crença comum que o Universo natural é regido por leis matemáticas e, na esteira da aceitação dessa crença, dois professores de matemática, Philip J. Davis e James A. Anderson, apresentaram um artigo na SIAM Review, onde concluem que o universo e tudo o que ele contém estão matematizando permanentemente. O anjo ou demônio matemático residiria em tudo e, por extensão, nos seres humanos, os quais, mesmo sem esforço consciente, estão matematizando quando seus corpos reagem a condições transitórias e procura um equilíbrio regulador.

Uma semente, dizem os autores, está matemátizando quando produz pétalas com simetria sextúpla. Eles chamam essa matematização, que é inerente ao Universo, de inconsciente. Ela prossegue independentemente da nossa vontade, não pode ser evitada ou desligada. Não exige cérebro ou computador especial, força ou esforço intelectual. Em certo sentido, a flor ou o planeta são seus próprios computadores.

Do outro lado distingue-se a Matemática consciente e esta parece estar ligada aos humanos e, possivelmente, a alguns animais superiores. Essa é a que chamamos em geral matemática, e pode ser adquirida em grande parte por treinamento especial. Está ligada a uma manifestação do consciente e, não raramente, une-se a uma linguagem simbólica e abstrata. Porém parece muito difícil estabelecer uma linha divisória entre a matemátização inconsciente e a consciente, visto que esta última surge muitas vezes de uma privilegiada leitura que algumas pessoas fazem da natureza e das reações das outras pessoas.

Se é assim, a matemática aqui chamada consciente deveria ser fonte de prazer da descoberta associada à sensação esteticamente agradável de desenvolvimento. Então qual a razão da baixa eficiência dos programas de ensino-aprendizagem da matemática? Ou por que mesmo os usuários (engenheiros, físicos, economistas, geólogos...) mais treinados da matemática consciente parecem não tê-la incorporado, isto é, usam-na eficientemente, mas apenas no campo para o qual foram treinados?

Parece claro que a matemática evoluiu na direção dos problemas que assimilou e resolveu; assim, ela será útil ao homem comum quando resolver os problemas de seu quotidiano. Isso me faz lembrar minha primeira experiência como professor de matemática, um quarto do século atrás, em uma pequena cidade de São Paulo. Quis ser original, fazendo com que uma das classes cumprisse um longo programa de Geometria quase que inteiramente fora da sala de aula sem.

Sem o auxílio de teodolitos, ou qualquer outro aparelho sofisticado implantamos o projeto de uma praça que a Prefeitura havia solicitado ao departamento responsável do governo do Estado. Mas antes de entregarmos o trabalho, numa de nossas sessões de leitura e debate, descobrimos um curioso artigo relatando que os urbanistas holandeses, antes de projetar as obras que ocupariam os terrenos roubados ao mar, deixavam- nos abertos ao uso dos habitantes do lugar. Inconscientemente, eles marcavam no terreno o seus caminhos naturais, que os projetos acabavam respeitando.

Fomos ao prefeito, mostramos o trabalho pronto, mas dissemos que não acreditávamos em sua funcionalidade, pois o projeto fora concebido longe dali. O prefeito aderiu às nossas ponderações: o terreno da praça foi aberto ao público, e durante meses as pessoas marcaram, sobre ele, seus caminhos naturais. Então os belos canteiros concebidos pelo arquiteto puderam ser colocados na praça, mas numa disposição completamente diferente, pois os caminhos entre eles não haviam nascido numa prancheta, a centenas de quilômetros dali.

Essa operação criou, para aqueles estudantes, a necessidade de estudar problemas geométricos que transcendiam em muito os programas escolares - e eles o fizeram com gosto e eficiência. Creio mesmo que nunca uma classe daquele colégio havia estudado tanta geometria. E foi o desejo, um tanto atrevido, de substituir os programas clássicos pelo indisciplinado método de levantar e tentar resolver problemas de curiosidades matemáticas, o alicerce dessa experiência. Hoje, mais velho e experiente, mas ainda atrevido, não tenho nenhuma dúvida.

(fonte: superinteressante: novembro 1987)

O HOMEM QUE CALCULAVA

Esta é uma representação em forma de animação de partes do famoso livro O Homem que Calculava de Malba Tahan.
Vale a pena assistir...

*STIFEL

Michael Stifel

Data de Nascimento: 1487 em Esslingen , Alemanha

Morreu em: 19 de abril de 1567 , em Jena, Alemanha

O nome de Michael Stifel aparece em muitas formas , como era uma característica comum da época em que as pessoas nem sequer adotar uma ortografia padrão para seus próprios nomes. As versões Styfel , Styffel , Stieffell , Stieffel são usados ​​, como é a versão latina do seu nome Stifelius . Seu pai era Conrad Stifel , mas nada se sabe sobre a educação e formação inicial de Michael . Ele estudou na Universidade de Wittenberg , onde ele foi premiado com um MA Esta foi uma nova universidade , fundada em 1502, e neste momento premiado graus depois de um ano de estudo. Ele fez sua vida na Igreja entrar no mosteiro agostiniano em Esslingen . Foi ordenado em 1511 , enquanto no mosteiro. No entanto Stifel não conformou-se corretamente à fé católica , quando ele se tornou infeliz tirando dinheiro dos pobres e começou a absolver os pobres de seus pecados , sem ter dinheiro indulgência. Devemos notar aqui que foi em outubro 1517 que Martin Luther tornado público suas 95 teses condenando a venda de indulgências , o evento amplamente aceito como início da Reforma. Stifel também começou , por volta de 1520 , a tentativa de utilizar métodos de numerologia para deduzir significados religiosos ocultos de nomes em particular usando os números que aparecem no livro de Apocalipse e no Livro de Daniel ( ele identificou o Papa Leão X com o Anticristo , nós dizemos mais abaixo sobre como os números levaram a isso). Atraído para as idéias de Martin Luther , compôs uma música em sua homenagem que , não surpreendentemente, não era a melhor jogada , dada a reação da Igreja em Roma, para as idéias de Lutero. Temendo por sua vida, Stifel fugiu do mosteiro de Esslingen , em 1522 .

Stifel publicado Von der christförmingen Lehre Luteros ein überaus schön künstlich Lied samt seiner Nebenauslegung ( 1522 ) ( Uma canção artística muito bonita sobre o ensino de Lutero moldada por Cristo , incluindo a sua explicação) . Neste ele retratou Luther como mais do que um profeta , identificando-o com um anjo do Livro do Apocalipse, e alegando que ele tinha sido enviado para revelar o Anticristo. Stifel escreveu [ 7] : -

Eu acredito que este homem é enviado a nós por Deus , ordenado e levantou -se no fervor do espírito de Elias . ... O compromisso eo propósito deste folheto é para certificar e provar os ensinamentos do anjo Christian , Martin Luther , e para mostrar como seus escritos fluxo diretamente da terra do santo evangelho , Paulo e os professores das Sagradas Escrituras que foram enviadas e certificada por Deus.

Ele buscou refúgio com um parente de Franz von Sickingen , um homem muito influente e rica que protegeu muitos humanistas e reformadores em seus castelos , conhecido como " refúgios para a justiça" . No entanto , o castelo que ele tinha fugido para a Kronberg nas montanhas Taunus foi sitiada pelos inimigos de von Sickingen em outubro 1522 e Stifel teve que fugir novamente. Ele foi para Wittenberg , a cidade em que Martin Luther voltou março de 1522 depois de se refugiar no castelo de Wartburg perto de Eisenach . Stifel viveu na própria casa de Luther por um tempo e os dois se tornaram amigos íntimos , também , neste momento , ele fez amizade com Philipp Melanchton , o professor de grego em Wittenberg e um dos primeiros partidários de Lutero. Em 1523 Luther obteve uma posição para Stifel como um pastor , mas a pressão anti- luterana o forçou a sair dessa e uma série de outras posições, em particular, um em Mansfeld e uma na Alta Áustria. Foi depois de o espanhol Fernando I tornou-se governante da Boêmia em 1526 que ele tentou livrar a terra dos protestantes e isso resultou em Stifel fugindo de volta para buscar refúgio com Lutero em 1528 . Luther defina Stifel em uma paróquia em Annaberg viajar para lá com ele em outubro do mesmo ano. Não só Stifel assumir as funções do padre, que tinha acabado de morrer , mas ele também se casou com a viúva do falecido , o casamento sendo conduzida pelo próprio Lutero .

Stifel estabeleceu bem em Annaberg . Lutero ficou encantado com o seu acérrimo defensor e havia um lado mais leve da vida também, no verão de 1531 Lutero escreveu a Stifel que ele, juntamente com muitos meninos cherry -loving , em breve visitar o jardim da cereja da Stifel . No entanto, Stifel agora tive tempo e paz para retornar a suas formas anteriores de usar a numerologia para deduzir significados ocultos . Ele publicou o panfleto Ein Rechenbüchlein vom Endchrist . Apocalypsis em Apocalypsim ( 1532 ), em Wittenberg em que ele usou a numerologia para mostrar que o fim do mundo estava próximo, e que o papa era o Anticristo. Logo após a publicação deste panfleto, ele fez mais alguns cálculos e se convenceu de que ele havia mostrado que o mundo iria acabar em 8:00 em 18 de outubro 1533. Consciente de que ele estava prestes a avisar a sua congregação da data do fim do mundo , Lutero pediu-lhe para não fazer qualquer anúncio . No entanto, Stifel não era para ser posto fora e muitos membros de sua congregação vendeu todos os seus bens , desistiu de seus empregos, e esperou na igreja para o fim do mundo . Quando a previsão de Stifel não foi preso , preso e julgado como um pastor em sua igreja . Lutero foi rápido para perdoar seu fiel seguidor e , com a ajuda de Melanchthon , garantiu a liberação de Stifel da prisão. Esse episódio pareceu curar Stifel de seu desejo de usar a numerologia para fazer previsões religiosas (pelo menos ele parou de torná-los públicos ) e ele começou a virar suas habilidades consideráveis ​​para a matemática .

Por 1535 Stifel tinha ganhado mais uma chance de ser dada uma paróquia e ele foi para uma paróquia em Holzdorf , perto de Annaberg e apenas cerca de 35 km a partir de Wittenberg , ele permaneceu lá por 12 anos. Ele agora se tornou um matemático sério , estudando matemática na Universidade de Wittenberg instruído por Jacob Milich . Não é possível ler grego , ele estudou os Elementos de Euclides na tradução latina por Campanus de Novara. Ele também leu trabalhos matemáticos recentes em alemão como Coss de Christoff Rudolff , uma obra que muito respeitado e textos aritméticas por vários autores como Adam Ries . Incentivado por Milich , ele começou a escrever seus próprios textos , escrevendo três durante seus doze anos de Holzdorf . Estes livros, Arithmetica integra ( 1544 ) , Deutsche Aritmética ( 1545 ) , e Welsche Practick ( 1546 ) foram os maiores contribuições para a matemática e vamos examinar algumas inovações contidas na primeira delas abaixo. Estes anos produtivos em Holzdorf terminou quando guerras religiosas eclodiu em 1546 , mas estes estavam longe de assuntos católicos contra protestantes simples. Na Guerra Schmalkaldic religiosa de 1546-7 , o duque luterano Maurice da Saxônia aliada à Católica Sacro Imperador Carlos V , em uma tentativa de levar a região da Saxônia longe do controle protestante. A aliança protestante entre certos territórios do Sacro Império Romano , a Liga Schmalkaldic , havia sido formada em 1530 , mas em 1546 ela foi atacada por Maurice da Saxônia e Charles V , que o derrotou em 1547. Stifel foi forçado a fugir de sua paróquia novamente.

Desta vez Stifel foi para a Prússia vivem em Memel em 1549 e Eichholz , no ano seguinte . Ele obteve uma paróquia em Haberstroh perto de Königsberg em 1551 e começou a dar palestras sobre matemática e teologia na Universidade de Königsberg . Neste momento , ele produziu uma nova edição do Coss de Rudolff (1552-1553) , mas este não era certamente um exercício de edição simples, mas ao contrário, ele mais do que dobrou seu tamanho pela adição de muito material de sua autoria. No entanto , os argumentos com os colegas sobre questões religiosas levou a voltar para a Saxônia em 1554 . Ele obteve uma paróquia em Brück , perto de Wittenberg , mas deixou de ir para Jena , onde começou a lecionar na Universidade de matemática , em especial sobre aritmética e geometria. Por 1559 o nome da Stifel aparece na Universidade de Jena registo como um Mestre da Universidade e padre. Ele permaneceu em Jena para os últimos anos de sua vida.

A pesquisa de Stifel estava em aritmética e álgebra , mas , antes de examinar suas contribuições para estas áreas , devemos falar um pouco sobre a numerologia que praticava antes de se tornar um sério matemático pesquisa. Seus primeiros "descoberta" foi que o Papa Leão X era 666, o número da besta dada no livro do Apocalipse. Ele usou um método de obtenção de um número de palavras que haviam sido usados ​​por muitos antes dele . Ele pegou as cartas de Leão DECIMVS que correspondeu a numeração romana e acrescentou estes. Tomando a soma de L, D , C, I, M, V lhe deu 1656 o que não significa muito para Stifel . Então , uma vez que existem 10 letras em LEO DECIMVS e M é a primeira letra de " mysterium ", ele percebeu que ele deve mover o contador no M de sua placa de contagem para a posição X . Isto deu-lhe 666, o número da besta, tal como consta do Livro do Apocalipse : -

Aqui há sabedoria. Aquele que tem entendimento calcule o número da besta , pois é número de um homem, eo seu número é seiscentos e sessenta e seis .

Muitos anos mais tarde , ele escreveu sobre esta descoberta (ver [ 18] ) : -

Eu percebi que M pode significar ' mysterium ' , fui para o meu celular, se ajoelhou e orou a Deus sobre este assunto. No entanto , eu não rezo por muito tempo , pois recebi como consolo, que me consola ainda hoje, sempre que eu penso sobre isso. E depois que eu já não era tão medroso e desalentado como eu era antes e daquele momento em diante eu sempre amei o Apocalipse de São João .

Um segundo método que ele usou, também no uso de longo tempo antes de Stifel , estava simplesmente dando a cada letra o seu valor numérico , com a = 1 , b = 2 , c = 3, etc Note-se que o seu alfabeto tinha apenas 23 letras (sem j, u ou w ) . Seu terceiro método é um que inventou -se , nomeadamente, para dar a cada letra do número triangular correspondente , a = 1 , b = 3, c = 6, d = 10 , etc Soma dos valores das 23 letras do alfabeto a qual deu 2300 o Livro de Daniel diz que é o número de dias para limpar o santuário. Ele, então, pôs-se a tarefa de escrever um poema de 22 linhas , cada linha do que tinha uma soma de letras ( tomando os números triangulares correspondentes) fazendo 2300.

Voltemo-nos agora para as inovações que aparecem na Arithmetica integra ( 1544 ), um trabalho de Stifel que ele dedicou a Philipp Melanchton . É composto de três livros, o primeiro dos quais é em teoria dos números , em particular a teoria dos números triangulares. Neste livro há um método bonito e muito inteligente de construir quadrados mágicos que lhe permite construir um quadrado mágico de 16 x 16. O segundo livro de Arithmetica Integra é dedicada à teoria dos números irracionais de Euclides , enquanto o terceiro livro é um trabalho em COSS ( o nome dado à álgebra neste momento) . Aqui ele faz uma primeira tentativa de estudar os números negativos . Stifel disse que esses números, que ele chamou de " absurdo " de " fictício " , surgem quando os números reais são subtraídos do nada. Também neste livro, ele resolve equações cúbicas e quartic usando métodos de Cardan . Em particular, ele resolve a equação quártico

x4 + 2x3 + 6x2 + 5x + 6 = 5550 .

Ele percebe que x4 + 2x3 + 6x2 + 5x + 6 = A2 + A , onde A = x2 + x + 2. Ele resolve A2 + A = 5550 para obter A = 74, então resolve x2 + x + 2 = 74 para obter a resposta x = 8. Ele aconselha o leitor a usar sua notação e não a de Cardan em Ars Magna , escrevendo : -

Acostuma-te a transformar os sinais usados ​​por Cardan em nosso próprio país. Embora seus sinais são os mais velhos, os nossos são mais cômodo , pelo menos de acordo com o meu julgamento .

Também em Arithmetica integra, Stifel começa a apresentar pela primeira vez a idéia de um expoente. Não só ele dar a correspondência entre a progressão aritmética 1, 2, 3, 4, 5, ... com a progressão geométrica 2, 4, 8, 16 , 32, ... mas ele se estende para trás de modo que 0 corresponde a 1, -1 corresponde a 1 /2, -2 corresponde a 1 /4, etc Ele parece até perceber que ele tropeçou em algo importante , pois ele escreve: -

Um livro inteiro poderia ser escrito sobre as coisas maravilhosas relativas a números , mas deve abster-se e deixar essas coisas com os olhos fechados .

Stifel escreveu Arithmetica integra em latim , mas sua próxima publicação Deutsche Aritmética ( 1545 ) foi escrito em alemão e foi claramente projetado para fazer álgebra mais amplamente compreensível para uma ampla gama de pessoas. Ele apresenta alguns notação muito desajeitado para os poderes do desconhecido que é claramente projetados para tornar a idéia mais compreensível e , em certo sentido, ele faz. Embora ele ainda não tenha sugerido a notação x , xx , xxx, etc para os poderes do desconhecido , e não o uso de símbolos separados, sua notação desajeitado do Deutsche Aritmética é um primeiro passo nesse sentido. Em 1553 Stifel trouxe uma nova edição do Coss de Rudolff , mas acrescentou mais material na forma de notas e comentários no final de cada capítulo, que mais do que dobrou o tamanho do texto original . Ele dá o triângulo de Pascal quando se considera poderes de ( 1 + x). Que este aparece quase 100 anos antes de Pascal nasceu deve vir como nenhuma surpresa, já que o triângulo de Pascal foi estudada por vários matemáticos antes de Pascal . Um dos avanços nas notas de Stifel é uma primeira tentativa de usar números negativos para reduzir a solução de uma equação quadrática para um único caso . Ele escreve (temos modernizado o texto usando ' coeficiente ' e ' x' ) : -

Primeiro, multiplicar o coeficiente de x por si mesmo e observe o sinal - ou + . Você deve saber que - e - rendimento multiplicado + (assim como + e +).

Outro dos avanços da Stifel deste texto foi apresentar a notação A, AA , AAA, AAAA , ... para os poderes do desconhecido A. No entanto, ele não foi ousado o suficiente para usar essa idéia inovadora no texto onde ele usou uma notação mais convencional. Claro que, quando se escreve um livro , há uma certa necessidade de produzir um texto que será lido e poucas pessoas estão preparadas para aceitar muito da inovação. Embora ele está produzindo uma nova edição do Coss de Rudolff , Stifel usa a sua própria notação para as raízes . Se usarmos ζ para o símbolo de Stifel para a praça do desconhecido, então ele escreve √ ζ para a raiz quadrada que Rudolff escreveu √ . Este parece ser um passo para trás , mas é claro que generaliza a raízes cúbicas , raízes quarto etc de uma forma mais satisfatória do que a notação de Rudolff . Pode-se pensar nisso como um primeiro passo para √ 2 , 3 √ , √ 4 , ... que usamos hoje . Ele escreve : -

Quanto mais conveniente meus próprios sinais são que os de Rudolff , sem dúvida todos os que lidam com estes algoritmos vai notar por si mesmo. Mas vou usar muitas vezes o sinal √ no lugar do √ ζ por brevidade. Mas se um coloca este sinal antes de um número simples que não tem a raiz que o sinal indica , em seguida, a partir desse número simples surge um número surd .

Em outras palavras √ 4 é um número simples, mas √ 2 é um número irracional . Stifel continua: -

Agora meus sinais são muito mais convenientes e mais clara do que as de Rudolff . Eles também são mais completos para eles abraçar todos os tipos de números na aritmética de surds . ... meus sinais são adaptados para fazer avançar o assunto , colocando no lugar de tantos algoritmos de um algoritmo simples e correta, como veremos .

Ressaltamos aqui , não que Stifel está introduzindo uma notação particularmente maravilhoso , mas que ele está tão preocupado com a boa notação . Isso mostra uma compreensão muito significativa do caminho a seguir para a álgebra . No entanto, é interessante notar que Stifel ainda não tinha notação para = . Terminamos esta biografia com a seguinte avaliação por Kurt Vogel [1]: -

[ Stifel ] era, de fato , o maior algebrista alemão do século XVI.

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

janeiro 2012

ARTE MATEMÁTICA (15)

Observe bem os segmentos traçados no interior deste pentágono e tente identificar as figuras e formas delimitadas por eles.

MATEMÁGICA? (15)

Observe a seguinte multiplicação:

27 X 81

Aparentemente uma multiplicação como outra qualquer certo?

Mas... você já calculou o seu resultado?

Pois bem...

27 X 81 = 2187

Se mesmo assim você ainda não percebeu nada de mais, observe os algarismos do resultado:

27 X 81 = 2187

Interessante não?

Agora efetue estas:

15  X 93

3 X 51

6 X 21