24 - Probabilidade I - Matemática - Vestibulando Digital

DIVIRTA-SE (24)

Saí da minha cidade viajando de carro a uma velocidade constante.

Passei por um marco quilométrico cujo número era formado por dois algarismos.

Uma hora depois passei por outro marco que continha os mesmos dois algarismos, mas em ordem inversa.

Depois de mais uma hora passei por outro marco que continha os mesmos dois algarismos separados por um zero.

A que velocidade eu estava viajando?

Jogos matemáticos - 24

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De dez em dez ou de dois em dois

Luiz Barco

Para multiplicar 17 por 13 nós precisamos recorrer a um vasto arsenal de técnicas e tabuadas que decoramos nos primeiros anos escolares. Mas existe um outro método, sem dúvida mais fácil, embora soe menos "prático". Basta formar duas colunas, A e B. A primeira, sobre o número 17; a segunda, sobre o 13. Na coluna A, dividimos sucessivamente por 2; na coluna B, multiplicamos sucessivamente também por 2.

A seguir, riscamos os números pares da coluna A e seus correspon-dentes da coluna B. Então somamos os números não riscados da coluna B e temos o resultado da multiplicação. No exemplo acima, sobram, sem serem riscados, o 13 e o 208, que, somados, fazem 221, exatamente o resultado de 17 x 13. Observe que esse método, embora menos prático, exige apenas multiplicações e divisões por 2, além da soma. Uma sociedade não escolarizada pode muito bem usar esse sistema e, de fato, até há bem pouco tempo ele era utilizado pelos camponeses em várias regiões da Rússia. Há mesmo evidências de que foi utilizado até recentemente também na Alemanha, na França e na Inglaterra. E servia perfeitamente aos egípcios, vinte séculos antes da era cristã.

As mais primitivas tribos da África e da Austrália utilizam um sistema de numeração inteiramente diferente do nosso sistema decimal. Trata-se de um sistema binário, ou seja, de base dois (nosso sistema é de base dez). Os membros dessas tribos, tão atrasados, não atingiram sequer o estágio da contagem pelos dedos das mãos. Eles utilizam nomes independentes para o 1 e para o 2 e nomes compostos até o número 6. A partir daí, tudo se chama "montão".

Há evidências de que esses indígenas contam aos pares. E para eles um hábito tão forte que dificilmente um nativo percebe quando dois gravetos são removidos de um grupo de sete, mas quando um graveto é removido ele percebe imediatamente. Seu senso de paridade é mais forte que seu senso numérico.

Uma numeração binária requer apenas dois símbolos, o 1 e o O. Suas tabuadas são muito mais simples do que as nossas, mas de qualquer forma não é nada compacto escrever números com a base dois: Por alguma razão, o camponês russo ou o egípcio de vinte séculos atrás, ou o chinês de trinta séculos, mesmo grafando os números em outras bases, ao fazerem duplicações ou mediações já usavam a base 2. No nosso exemplo, ao dividirmos o 17 sucessivamente por 2, na verdade estamos reescrevendo-o na base 2: 17 por 2 deixa resto 1, a unidade; 8 por 2 deixa resto O, grupos de 2; 4 por 2 deixa resto O, grupos de 4; 2 por 2 deixa restp O, grupos de 8; o 1 que sobra não é divisível por 2, grupos de 16. Ao cortarmos os pares 8, 4 e 2 ignoramos os zeros do 17 escrito na base 2; ao adicionarmos 13 + 208 da coluna B estávamos considerando os ls da primeira e da quinta ordens do 17 escrito na base 2. É que sobra não é divisível por 2, grupos de 16.

Ao cortarmos os pares 8, 4 e 2 ignoramos os zeros do 17 escrito na base 2; ao adicionarmos 13 + 208 da coluna B estávamos considerando os ls da primeira e da quinta ordens do 17 escrito na base 2. É interessante notar que a paridade exercitada pelas tribos da África e da Austrália e a multiplicação por duplicações e mediações, que aparecem e desaparecem para reaparecer logo depois, em épocas e lugares diversos, têm como base o 2. Essa mesma base está nas entranhas de quase todos os modernos computadores, que pouco a pouco vão invaqindo nosso mundo e nossas vidas. Ninguém com um pouco de bom senso pode prever que seja muito breve a época em que o homem civilizado trocará a base 10 pela base 2 no eu sistema de numeração. Por certo, o século XXI ainda acordará com ele. Mas quem pode afirmar que adormecerá com ele?

 

Fonte: Superinteressante, julho de 1988

O MUNDO DA MATEMÁTICA (9)

Hoje vamos saber mais sobre Trigonometria... Que tal?

*GIRARD

Albert Girard

Data de Nascimento: 1595 em St Mihiel , França

Morreu em: 08 de dezembro de 1632 em Leiden, Holanda

Albert Girard era francês, mas , sendo um membro da Igreja Reformada , foi como refugiado religioso para a Holanda. Nós não sabemos quando ele fez este movimento, mas nós sabemos que ele estava triste em toda a sua ao vivo que ele foi forçado a viver fora de sua terra natal. Ele estudou na Universidade de Leiden, onde estudou matemática , entrar na Universidade com a idade de 22. Na verdade, seu primeiro interesse era a música e tocava o alaúde profissionalmente. Jacob Golius estava prestes a mesma idade de Girard , mas começou a estudar matemática na Universidade de Leiden, alguns anos antes. Certamente por 1616 os dois estavam envolvidos em discussões matemáticas e não está sobrevivendo a correspondência a partir desse momento em que eles estão discutindo assuntos científicos . Golius passou vários anos em Marrocos e em excursões da Síria e terras árabes. Ele foi nomeado professor de matemática em Leiden em 1629 (além de sua cátedra árabe de 1625 ) . Quando Constantijn Huygens ( pai Christiaan Huygens ) escreveu uma nota de congratulações a Golius sobre sua nomeação matemática, ele elogiou o trabalho de Girard, particularmente na refração , o que certamente sugere que os dois continuaram a trocar idéias . Sabemos , porém, que no momento em que Huygens escreveu esta carta , Girard estava servindo como engenheiro no exército do príncipe de Orange, Frederico Henrique de Nassau.

Girard trabalhou em álgebra, trigonometria e aritmética. Ele fez uma grande contribuição para a matemática através da publicação de várias obras por Simon Stevin . Em 1625 , ele preparou uma edição revisada de Arithmétique de Stevin , mas ele também acrescentou-lhe traduções do grego dos livros 5 e 6 de Arithmetica de Diofanto , bem como apêndices de Stevin . Stevin produziu tabelas de senos, tangentes e secantes que foram melhorou muito por Girard , que publicou a sua versão em 1626 . Neste Trigonometrie trabalho sobre trigonometria ele fez o primeiro uso do pecado abreviaturas , cos , tan . Ele também deu fórmulas para a área de um triângulo esférico . Em álgebra ele tinha alguns dos primeiros pensamentos sobre o teorema fundamental da álgebra que ele declarou em Invention Nouvelle en l' Algèbre ( 1629) . Cinza Funkhouser escreve [ 7] : -

O primeiro homem que realmente tem um lugar na história de funções simétricas das raízes de equações , um homem que por clareza e compreensão do material em mãos , não só neste tópico , mas também em outras fases da álgebra poderia muito bem manter seu lugar um século depois foi Albert Girard ... seu trabalho em álgebra é um pequeno panfleto 34 folhas chamado ' Invention Nouvelle en l' Algèbre ", publicado em 1629. Girard dá o triângulo mais tarde conhecido como o triângulo de Pascal e usa -lo como base para o desenvolvimento de um teorema em funções simétricas , embora ele não tem idéia de como tal.

Girard chama de triângulo de Pascal o "triângulo da extração " . Ele chama a soma de um conjunto de números "primeira fracção " , a soma dos produtos de pares de números a "segunda fracção ", etc Ele então dá um teorema : Se um grupo de números é dada , a multiplicidade de os produtos de cada fracção pode ser expresso pela mesma linha no triângulo de extracção como a multiplicidade de números.

Ele dá um exemplo da equação (o que escrever em notação moderna )

x4 = 4x3 + 7x2 - 34x + 24 .

Desde o mais alto poder do desconhecido é 4, Girard afirma claramente que há quatro raízes " nem mais nem menos " . Ele toma os poderes até mesmo para a esquerda, os poderes ímpares para a direita dando

x4 - 7x2 - 24 = 4x3 - 34x .

Ele então diz que os coeficientes , com seus sinais próprios, são 4 , -7, -34 , -24 . Em seguida, 4 é a primeira fracção , ou seja, a soma das raízes , -7 representa a segunda fracção , isto é, a soma de todos os produtos de pares de raízes , -34 é a terceira fracção , isto é, a soma de todos os produtos de três raízes, - 24 é a quarta fracção , isto é, o produto das quatro raízes . Após isso, ele dá outro exemplo , ou seja, x4 - 4x + 3 = 0, que tem duas raízes imaginárias, e mostra que o método ainda dá a resposta certa neste caso.

Ele em seguida, analisa a soma das raízes , a soma dos quadrados das raízes , a soma dos cubos das raízes , etc Ele escreve : -

Se os coeficientes dos segundo , terceiro, quarto , etc, são termos A, B , C, etc , em seguida, numa equação de qualquer grau

A será a soma das raízes ;

A2 - 2B será a soma dos quadrados das raízes ;

A3- 3AB + 3C será a soma dos cubos das raízes ;

A4- 4A2B 4AC + + 2B2 -4D será a soma dos quarto potências das raízes .

Charles Hutton dá um relato detalhado do conteúdo do Invention Nouvelle en l' Algèbre em [8] . Ele explica que as 63 páginas do livro, 49 são em aritmética e álgebra : -

... eo resto na medida das superficies de triângulos esféricos e polígonos , por ele , em seguida, recentemente descoberto.

Depois de dar um relato detalhado das páginas 49 em aritmética e álgebra, Hutton dá a este resumo: -

1 . Ele foi a primeira pessoa que entendeu a doutrina geral da formação dos coeficientes das potências , a partir das somas de suas raízes e seus produtos , etc

2 . Ele foi o primeiro que entendeu o uso de raízes negativas na solução de problemas geométricos .

3. Ele foi o primeiro que falou das raízes imaginárias , e compreendeu que toda equação pode ter tantas raízes reais e imaginários , e nada mais , já que existem unidades no índice do mais alto poder . E ele foi o primeiro que deu o nome caprichoso de quantidades inferiores nada para o negativo.

4 . Ele foi o primeiro que descobriu as regras para a soma das potências das raízes de qualquer equação.

Devemos também mencionar sua abordagem iterativa para resolver equações [1]: -

Com o auxílio de tabelas trigonométricas Girard equações resolvidas do terceiro grau com três raízes reais . Para aqueles que têm apenas uma raiz indicou, ao lado de regras de Cardano , um método elegante de solução numérica por meio de tabelas trigonométricas e de iteração.

Ele foi o primeiro a dar uma interpretação geométrica de quantidades negativas , escrevendo : -

A solução negativa é explicada em geometria movendo-se para trás , eo sinal negativo se move para trás quando o + avanços .

Como muitos matemáticos de sua época Albert Girard estava interessado em aplicações militares da matemática e, em especial fortificações estudados. Ele traduziu várias obras em algumas fortificações do francês para o Flamengo , como Fortificação UO arquitetura Militaire de Samuel Marolois para a qual ele acrescentou também o material e revisou o texto. Ele fez o mesmo com o tratado de dois volumes Géométrie contenant la théorie et d' practique icelle . necessaire à la fortificação. Outras obras que traduzido do Flamengo para o francês como Oeuvres de Henry Hondius ( 1625 ) .

Parece que Girard passou algum tempo como engenheiro no exército holandês , embora este foi, provavelmente, depois que ele publicou seu trabalho sobre trigonometria. Pierre Gassendi , escrevendo em 21 de julho de 1629 a seu amigo Nicholas de Peiresc , fala sobre Girard e refere-se a sua posição no exército holandês [1]: -

[I jantaram no local do acampamento antes Boisle -Roi com ] Albert Girard, um engenheiro agora no acampamento.

Em sua morte, ele foi descrito como um engenheiro em vez de como um matemático , embora , ao longo de sua vida, ele mesmo sempre se descreveu como um matemático . Nos trabalhos de Stevin que editou (publicado após sua morte) , Girard diz que está infeliz de estar em um país estrangeiro sem ninguém para lhe fornecer apoio financeiro para ajudá-lo a trazer a sua grande família [1]: -

Sua viúva , na dedicação deste trabalho , é mais precisa. Ela é pobre, com onze órfãos , a quem seu pai deixou apenas sua reputação de ter servido fielmente e ter gasto todo o seu tempo na pesquisa sobre os segredos mais nobres da matemática.

Girard trabalhou na produção de Les Oeuvres mathématiques de Simon Stevin reforços par Albert Girard , mas morreu em 1632, antes que o trabalho foi publicado , o que aconteceu em 1634. A dedicação , assinado pela viúva e filhos de Stevin , contém a passagem que citamos acima. George Sarton escreve [ 12] : -

Girard foi ele próprio um grande matemático , e acrescentou muitas observações de sua própria ao texto Stevinian : estas observações podem ser facilmente distinguidos do resto. Alguns trabalhos foram traduzidos por Sintonia ou Stevin , outros foram traduzidos por ele próprio e abreviado , suas próprias adições são sempre especificamente mencionado como tal . Assim, as "obras " pode ser usado para estudar próprio pensamento de Stevin , mas é preciso ter cuidado para não atribuir interpolações inconfundíveis de Girard para Stevin .

Sarton notas que Girard escreveram um "comentário estranho " nas idéias de Stevin na " idade da sabedoria " . Em particular, Sarton escreve: -

O ataque de Girard sobre a língua francesa em um livro francês é certamente curioso.

Girard também é famoso por ser o primeiro a formular a definição indutiva ( agora conhecido ) fn +2 = fn +1 + fn para a sequência de Fibonacci, e afirmando que as razões de termos da seqüência de Fibonacci tendem a proporção áurea, que aparecem nesta publicação 1634 . Robert Simson escreve em 1753 [13] : -

A primeira coisa que Albert Girard dá ... é um método de expressar a razão dos segmentos de uma linha de corte na proporção extrema e média , por um número racional , que convergem para a razão verdadeira . Para este efeito, ele assume a progressão 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc , dos quais cada termo é igual à soma dos dois termos que o precedem , e diz , em qualquer número Uma progressão até ao seguir o mesmo rácio [ cerca de ], que tem qualquer outra para que , o que se lhe segue . Assim 5 a 8 tem praticamente o mesmo rácio que tem 8 a 13 e, por conseguinte , todas as três números ao lado do outro , como 8 , 13, 21 , cerca de expressar os segmentos de uma linha de corte na proporção extrema e média , e toda a linha , de modo que 13, 21, 34 constituem perto o suficiente de um triângulo isósceles , com o ângulo de um pentágono ... A segunda coisa que Albert Girard menciona , é uma maneira de apresentar uma série de fracções racionais , que convergem para a raiz quadrada de qualquer número de propostas, e que muito rápido. Ele não nos diz nada sobre a maneira de formar , e dá dois exemplos a seguir , ou seja , ele diz que √ 2 é quase igual a 577/408 : ou , se você quiser tê-lo mais perto, 1393/985 . Seu outro exemplo é de √ 10, que , segundo ele, é quase igual ao 1039681/128776 . E estes são ... à primeira vista, continuou frações do mesmo valor.

Girard não pode ser creditado com a invenção de frações contínuas , como resultado de suas observações brilhantes, mas mais uma vez sua genialidade brilha. Na verdade, fica-se com um pouco de tristeza que o nome de Girard não é hoje bem conhecido ainda se sente que as coisas poderiam ter sido diferentes se ele tivesse tido tempo para explicar completamente as coisas que ele obviamente entendidos e também levou algum tempo para empurrar um pouco promover algumas de suas idéias surpreendentes. Jean Itard escreve [ 1]: -

[ Girard foi ] sempre pressionado pelo tempo e, geralmente, sem espaço , ele era muito mesquinho com palavras e mais ainda com demonstrações , assim, ele muito freqüentemente sugerido mais do que demonstrada.

Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F

maio 2010

FIM DE ANO

Olá a todos os leitores deste blog e em especial aos meus alunos.

Mais um ano chega ao fim e é hora de pedir desculpas por vocês terem tido que me aturar por tanto tempo... rsrs

Peço perdão pelos momentos em que não os compreendi ou não me fiz compreender...

Gostaria de ter feito mais, de ter ensinado mais, de ter ajudado mais, de ter me dedicado mais...

Sou, porém, humano como vocês. Erro, caio, levanto e começo tudo de novo. Como espero que vocês também possam fazê-lo!

Agradeço pela companhia de vocês. Por terem me ajudado tanto a encontrar meus poucos pontos positivos e meus vários negativos.

Agradeço ainda por terem me ensinado tanto e espero que tenham aprendido tanto quanto eu, ou mais !

Aos que já saíram da escola meus parabéns pelas conquistas e pelos cursos de graduação que estão apenas começando...

Aos que ainda estão tentando vestibulares, sucesso em seus projetos...

Aos que não vão sair da escola ainda, paciência...

A TODOS VOCÊS:

BOAS FESTAS !!!!

FELIZ 2011 !!

GRANDE ABRAÇO!

ARTE MATEMÁTICA (24)

Novamente elipses!
Só que desta vez as elipses além de terem tamanhos diferentes são semitransparentes  e sua sobreposição vai gerando vários tons de cinza sobre o fundo negro... Que tal?