sexta-feira, 23 de dezembro de 2011
terça-feira, 20 de dezembro de 2011
2011 está acabando...
E mais um ano se foi...
Ano de muito trabalho e de muito aprendizado.
Pra vocês e pra mim...
Desejo a todos um bom fim de ano, boas festas e um excelente 2012!!!
Grande abraço a todos os leitores deste blog.
Ano de muito trabalho e de muito aprendizado.
Pra vocês e pra mim...
Desejo a todos um bom fim de ano, boas festas e um excelente 2012!!!
Grande abraço a todos os leitores deste blog.
segunda-feira, 19 de dezembro de 2011
DIVIRTA-SE (36)
Você tem seis esferas colocado em um plano.
O objetivo é encontrar dois pares de pérolas equidistantes. (Em outras palavras, encontrar um par de pérolas que estão exatamente à mesma distância um do outro como um outro par de pérolas).
A distância entre duas esferas é entendida como a distância entre os seus centros.
O objetivo é encontrar dois pares de pérolas equidistantes. (Em outras palavras, encontrar um par de pérolas que estão exatamente à mesma distância um do outro como um outro par de pérolas).
A distância entre duas esferas é entendida como a distância entre os seus centros.
sábado, 17 de dezembro de 2011
Jogos matemáticos - 36
SNOW SPRINT
Multiplique as frações apresentadas escolhendo a alternativa correta.
Quem sabe você chega em primeiro lugar.
Vamos ver?
SNOW SPRINT
sexta-feira, 9 de dezembro de 2011
A História da Matemática - Episódio 1 - A Linguagem do universo
Marcus du Sautoy é matemático, escritor e divulgador da Matemática seja por meio de seus livros ou em documentários como este produzido pela BBC de Londres.
Neste e nos próximos três episódios você vai conhecer um pouco mais sobre a fascinante História da Matemática!
Neste e nos próximos três episódios você vai conhecer um pouco mais sobre a fascinante História da Matemática!
quarta-feira, 7 de dezembro de 2011
*ARGAND
Jean Robert Argand
Data de Nascimento: 18 de julho de 1768 em Genebra, Suíça
Morte: 13 de agosto de 1822 em Paris , França
Jean- Robert Argand era um contador e guarda-livros em Paris , que era apenas um matemático amador. Pouco se sabe sobre sua origem e educação. Sabemos que seu pai era Jacques Argand e sua mãe Eves Canac . Além de sua data de nascimento, a data em que ele foi batizado é conhecido - 22 de julho 1768.
Entre os poucos outros fatos conhecidos de sua vida é um pouco de informação sobre seus filhos. Seu filho nasceu em Paris e continuou a viver lá, enquanto sua filha , Jeanne -Françoise - Dorothée -Marie- Elizabeth Argand , casado Félix Bousquet e eles viviam em Stuttgart.
Argand é famoso por sua interpretação geométrica dos números complexos , onde i é interpretado como uma rotação de 90 ° . O conceito de o módulo de um número complexo é também devido ao Argand mas de Cauchy , que utilizado o termo mais tarde , é geralmente tido como o originador este conceito. O diagrama de Argand é ensinado a maioria das crianças em idade escolar que estão estudando matemática e nome de Argand vai viver na história da matemática através deste importante conceito . No entanto , o facto de o seu nome está associada com esta interpretação geométrica de números complexos é apenas como resultado de uma sequência de eventos bastante estranho .
O primeiro a publicar essa interpretação geométrica dos números complexos foi Caspar Wessel . A idéia aparece na obra de Wessel , em 1787, mas não foi publicado até Wessel apresentou um documento para uma reunião da Royal Danish Academy of Sciences em 10 de março 1797. O documento foi publicado em 1799 , mas não notado pela comunidade matemática . O trabalho de Wessel foi redescoberto em 1895, quando Juel chamar a atenção para isso e , no mesmo ano , Sophus Lie republicado papel de Wessel .
Isso não é tão surpreendente quanto possa parecer à primeira vista desde Wessel foi um agrimensor . No entanto, Argand não era um matemático profissional ou, então, quando ele publicou a sua interpretação geométrica dos números complexos , em 1806 , era em um livro que ele publicou em particular às suas próprias custas . Seu conhecimento do comércio de livro permitiu-lhe colocar para fora esta pequena edição, mas seria de esperar que seja em um lugar menos perceptível do que o trabalho de Wessel , que afinal de contas foi publicado pela Academia Real da Dinamarca . Talvez ainda mais surpreendentemente , o nome de Argand nem sequer aparecem no livro de modo que era impossível identificar o autor .
A maneira que o trabalho de Argand ficou conhecido é bastante complicado . Legendre foi enviada uma cópia do trabalho e ele enviou para François Français embora nem conhecia a identidade do autor. Depois da morte de François Français , em 1810, seu irmão Jacques Français trabalhou em seus papéis e descobriu livrinho de Argand entre eles. Em setembro 1813 Jacques Français publicou um trabalho no qual ele deu uma representação geométrica dos números complexos , com aplicações interessantes , com base nas ideias de Argand . Jacques Français poderia facilmente ter reclamado estas idéias para si mesmo, mas ele fez muito pelo contrário. Ele terminou o seu papel , dizendo que a idéia foi baseada no trabalho de um matemático desconhecido e ele pediu que o matemático deve tornar-se conhecido para que ele possa receber o crédito por suas idéias .
O artigo de Jacques Français apareceu em Gergonne da revista Annales de mathématiques e Argand respondeu ao pedido de Jacques Français , reconhecendo que ele era o autor e apresentar uma versão ligeiramente modificada de sua obra original, com algumas novas aplicações para o Annales de mathématiques . Não há nada como um argumento para trazer algo para a atenção do mundo e este é exatamente o que aconteceu em seguida. Um debate vigoroso entre Jacques Français, Argand e Servois aconteceu nas páginas do Jornal do Gergonne . Nessa correspondência Jacques Français e Argand argumentou em favor da validade da representação geométrica , enquanto Servois argumentou que os números complexos devem ser tratados usando álgebra pura.
Pode-se esperar que Argand teria feito há outras contribuições para a matemática. No entanto, isto não é assim e , embora ele sempre será lembrado para o diagrama de Argand , o seu melhor trabalho é sobre o teorema fundamental da álgebra e por isso ele recebeu pouco crédito . Ele deu uma bela prova (com pequenas falhas ) do teorema fundamental da álgebra em sua obra de 1806, e, novamente, quando ele publicou seus resultados no Jornal da Gergonne em 1813. Certamente Argand foi o primeiro a indicar o teorema no caso em que os coeficientes são números complexos. Petrova , em [6] , discute as primeiras provas do teorema fundamental e observações que Argand deu uma forma quase moderno da prova que foi esquecido após a sua segunda publicação , em 1813 .
Depois de 1813 Argand fez alcançar uma maior visibilidade no mundo matemático. Ele publicou mais de oito artigos , todos em Jornal do Gergonne , entre 1813 e 1816. A maioria destes são baseados em um ou outro seu livro original , ou comentar sobre artigos publicados por outros matemáticos . Sua publicação final foi em combinações onde usou a notação (m, n) para as combinações de n objectos seleccionados a partir de m objectos.
Em [ 1] Jones resume o trabalho de Argand da seguinte forma: -
Argand era um homem com um fundo desconhecido , uma ocupação nonmathematical , e um contato incerto com a literatura de seu tempo que intuitivamente desenvolvido uma idéia fundamental para que o tempo estava certo. Ele explorou isso mesmo. A qualidade e importância de sua obra foi reconhecido por alguns dos gênios de seu tempo, mas falhas na comunicação e da simultaneidade aproximado de desenvolvimentos semelhantes por parte de outros trabalhadores forçar um historiador para negar-lhe todo o crédito para os frutos do conceito em que ele trabalhou .
Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F
jul 2000
Data de Nascimento: 18 de julho de 1768 em Genebra, Suíça
Morte: 13 de agosto de 1822 em Paris , França
Jean- Robert Argand era um contador e guarda-livros em Paris , que era apenas um matemático amador. Pouco se sabe sobre sua origem e educação. Sabemos que seu pai era Jacques Argand e sua mãe Eves Canac . Além de sua data de nascimento, a data em que ele foi batizado é conhecido - 22 de julho 1768.
Entre os poucos outros fatos conhecidos de sua vida é um pouco de informação sobre seus filhos. Seu filho nasceu em Paris e continuou a viver lá, enquanto sua filha , Jeanne -Françoise - Dorothée -Marie- Elizabeth Argand , casado Félix Bousquet e eles viviam em Stuttgart.
Argand é famoso por sua interpretação geométrica dos números complexos , onde i é interpretado como uma rotação de 90 ° . O conceito de o módulo de um número complexo é também devido ao Argand mas de Cauchy , que utilizado o termo mais tarde , é geralmente tido como o originador este conceito. O diagrama de Argand é ensinado a maioria das crianças em idade escolar que estão estudando matemática e nome de Argand vai viver na história da matemática através deste importante conceito . No entanto , o facto de o seu nome está associada com esta interpretação geométrica de números complexos é apenas como resultado de uma sequência de eventos bastante estranho .
O primeiro a publicar essa interpretação geométrica dos números complexos foi Caspar Wessel . A idéia aparece na obra de Wessel , em 1787, mas não foi publicado até Wessel apresentou um documento para uma reunião da Royal Danish Academy of Sciences em 10 de março 1797. O documento foi publicado em 1799 , mas não notado pela comunidade matemática . O trabalho de Wessel foi redescoberto em 1895, quando Juel chamar a atenção para isso e , no mesmo ano , Sophus Lie republicado papel de Wessel .
Isso não é tão surpreendente quanto possa parecer à primeira vista desde Wessel foi um agrimensor . No entanto, Argand não era um matemático profissional ou, então, quando ele publicou a sua interpretação geométrica dos números complexos , em 1806 , era em um livro que ele publicou em particular às suas próprias custas . Seu conhecimento do comércio de livro permitiu-lhe colocar para fora esta pequena edição, mas seria de esperar que seja em um lugar menos perceptível do que o trabalho de Wessel , que afinal de contas foi publicado pela Academia Real da Dinamarca . Talvez ainda mais surpreendentemente , o nome de Argand nem sequer aparecem no livro de modo que era impossível identificar o autor .
A maneira que o trabalho de Argand ficou conhecido é bastante complicado . Legendre foi enviada uma cópia do trabalho e ele enviou para François Français embora nem conhecia a identidade do autor. Depois da morte de François Français , em 1810, seu irmão Jacques Français trabalhou em seus papéis e descobriu livrinho de Argand entre eles. Em setembro 1813 Jacques Français publicou um trabalho no qual ele deu uma representação geométrica dos números complexos , com aplicações interessantes , com base nas ideias de Argand . Jacques Français poderia facilmente ter reclamado estas idéias para si mesmo, mas ele fez muito pelo contrário. Ele terminou o seu papel , dizendo que a idéia foi baseada no trabalho de um matemático desconhecido e ele pediu que o matemático deve tornar-se conhecido para que ele possa receber o crédito por suas idéias .
O artigo de Jacques Français apareceu em Gergonne da revista Annales de mathématiques e Argand respondeu ao pedido de Jacques Français , reconhecendo que ele era o autor e apresentar uma versão ligeiramente modificada de sua obra original, com algumas novas aplicações para o Annales de mathématiques . Não há nada como um argumento para trazer algo para a atenção do mundo e este é exatamente o que aconteceu em seguida. Um debate vigoroso entre Jacques Français, Argand e Servois aconteceu nas páginas do Jornal do Gergonne . Nessa correspondência Jacques Français e Argand argumentou em favor da validade da representação geométrica , enquanto Servois argumentou que os números complexos devem ser tratados usando álgebra pura.
Pode-se esperar que Argand teria feito há outras contribuições para a matemática. No entanto, isto não é assim e , embora ele sempre será lembrado para o diagrama de Argand , o seu melhor trabalho é sobre o teorema fundamental da álgebra e por isso ele recebeu pouco crédito . Ele deu uma bela prova (com pequenas falhas ) do teorema fundamental da álgebra em sua obra de 1806, e, novamente, quando ele publicou seus resultados no Jornal da Gergonne em 1813. Certamente Argand foi o primeiro a indicar o teorema no caso em que os coeficientes são números complexos. Petrova , em [6] , discute as primeiras provas do teorema fundamental e observações que Argand deu uma forma quase moderno da prova que foi esquecido após a sua segunda publicação , em 1813 .
Depois de 1813 Argand fez alcançar uma maior visibilidade no mundo matemático. Ele publicou mais de oito artigos , todos em Jornal do Gergonne , entre 1813 e 1816. A maioria destes são baseados em um ou outro seu livro original , ou comentar sobre artigos publicados por outros matemáticos . Sua publicação final foi em combinações onde usou a notação (m, n) para as combinações de n objectos seleccionados a partir de m objectos.
Em [ 1] Jones resume o trabalho de Argand da seguinte forma: -
Argand era um homem com um fundo desconhecido , uma ocupação nonmathematical , e um contato incerto com a literatura de seu tempo que intuitivamente desenvolvido uma idéia fundamental para que o tempo estava certo. Ele explorou isso mesmo. A qualidade e importância de sua obra foi reconhecido por alguns dos gênios de seu tempo, mas falhas na comunicação e da simultaneidade aproximado de desenvolvimentos semelhantes por parte de outros trabalhadores forçar um historiador para negar-lhe todo o crédito para os frutos do conceito em que ele trabalhou .
Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F
jul 2000
segunda-feira, 5 de dezembro de 2011
quarta-feira, 23 de novembro de 2011
quinta-feira, 17 de novembro de 2011
Jogos matemáticos - 35
NUMBER FLOWERS
Gire os discos e posicione os números na mesma linha das flores mas, de modo que a soma dos números que você moveu seja igual ao número mostrado na flor.
Acha que consegue?
NUMBER FLOWERS
Gire os discos e posicione os números na mesma linha das flores mas, de modo que a soma dos números que você moveu seja igual ao número mostrado na flor.
Acha que consegue?
NUMBER FLOWERS
quarta-feira, 9 de novembro de 2011
PHI
Este vídeo, originalmente em espanhol, traz muitas informações interessantes sobre phi, o chamado número de ouro. Vale a pena conferir.
segunda-feira, 7 de novembro de 2011
*Ruffini
Data de Nascimento: 22 de setembro de 1765 em Valentano , Estados Pontifícios ( agora Itália)
Morreu em: 10 mai 1822 em Modena , ducado de Modena ( agora Itália)
O pai de Paolo Ruffini , Basilio Ruffini , era um médico em Valentano . Como uma criança jovem Paolo era [4]: -
... de um temperamento místico e parecia estar destinado ao sacerdócio ...
A família mudou-se para Reggio , perto de Modena , na região de Emilia -Romagna , norte da Itália , Paolo quando era um adolescente. Ele entrou na Universidade de Modena , em 1783 , onde estudou matemática , medicina, filosofia e literatura . Entre seus professores de matemática em Modena estavam Luigi Fantini , que ensinava geometria Ruffini , e Paolo Cassiani , que lhe ensinou o cálculo.
A família Este governou Modena e , em 1787 , Cassiani foi apontado como um conselheiro para os estados Este. Curso de Cassiani em Modena sobre os fundamentos da análise foi tomado por Ruffini em 1787-1788 , embora ele ainda era um estudante neste momento. Em 09 de junho de 1788 Ruffini se formou em filosofia, medicina e cirurgia. Logo após isso, ele se formou com um grau de matemática.
Ruffini deve ter feito um bom trabalho dos fundamentos do curso de análise que ele assumiu a partir Cassiani para, em 15 de outubro de 1788, foi nomeado professor dos fundamentos da análise. Fantini , que tinha ensinado geometria Ruffini , quando ele era um estudante universitário , encontrou sua visão se deteriorando e , em 1791, ele teve que renunciar ao seu cargo no Modena. Ruffini foi nomeado para ocupar o cargo de Professor de Elementos de Matemática em 1791. No entanto, Ruffini não era apenas um matemático . Ele havia formado em medicina e , também em 1791, foi-lhe concedida uma licença para praticar medicina pelo Tribunal Médica Colegial de Modena.
Esta foi uma época de guerras após a Revolução Francesa. No início de 1795 a França tinha vitórias em todas as frentes . No norte da Itália, o exército francês ameaçou posições austro- sardos , mas seu comandante não conseguiu tomar a iniciativa . Em março de 1796 foi substituído por Napoleão Bonaparte que executou uma campanha brilhante de manobras . Tomando a ofensiva em 12 de abril e assim sucessivamente derrotados e separou o austríaco e os exércitos da Sardenha e , em seguida, marchou em Turim. O rei da Sardenha pediu um armistício e de Nice e Sabóia foram anexadas à França. Bonaparte continuou a guerra contra os austríacos e Milão ocupados, mas foi detido em Mântua . Antes de Mantua caiu para seus exércitos ele assinou armistícios com o duque de Parma e do duque de Modena. As tropas de Napoleão ocuparam Modena e , muito contra a sua vontade , Ruffini encontrou-se no meio da turbulência política .
Napoleão criou a República Cisalpina composto da Lombardia , Emilia , Modena e Bolonha . Apesar de não querer se envolver, Ruffini se viu nomeado um representante para o Conselho Júnior da República Cisalpina . No entanto, ele logo deixou esta posição e , no início de 1798, ele retornou ao seu trabalho científico na Universidade de Modena. Ele foi obrigado a fazer um juramento de fidelidade à República e este Ruffini descobriu que não conseguia fazer por motivos religiosos . Ao não fazer o juramento , ele perdeu sua cátedra e foi impedido de ensino.
Ruffini não parecia muito perturbado pela perda de sua cadeira, na verdade, ele era um homem muito calmo que levou todos os dramáticos acontecimentos ao seu redor , em seu passo . O fato de que ele não poderia ensinar matemática significava que ele tinha mais tempo para praticar a medicina e, portanto, ajudar seus pacientes a quem foi extremamente dedicado . Por outro lado, deu-lhe a oportunidade de trabalhar no que foi um dos mais originais dos projetos , ou seja, para provar que a equação do quinto grau não podem ser resolvidas por radicais .
Para resolver uma equação polinomial por radicais significava encontrar uma fórmula para as suas raízes em termos dos coeficientes de modo a que a fórmula envolve apenas operações de adição , subtracção , multiplicação, divisão e tendo raízes. Equações de segundo grau ( de grau 2) tinha sido conhecido por ser solúvel por radicais da época dos babilônios. A equação cúbica tinha sido resolvida por radicais por del Ferro, Tartaglia e Cardano . Ferrari tinha resolvido o quartic pelos radicais em 1540 e assim por 250 anos se passaram sem que ninguém seja capaz de resolver o quinto grau por radicais apesar das tentativas de muitos matemáticos . Entre aqueles que tinham feito tentativas sérias de entender o problema eram Tschirnhaus , Euler, Bézout , Vandermonde , Waring e Lagrange .
Parece que ninguém antes de Ruffini realmente acreditava que o quinto grau não poderia ser resolvida por radicais . Certamente nenhum matemático publicou tal afirmação e até mesmo Lagrange em suas reflexões famoso artigo sobre a resolução de equações algébricas diz que vai voltar para a questão da solução do quinto grau e, claro , ele ainda esperava para resolvê-lo por radicais . Em 1799 Ruffini publicou um livro sobre a teoria das equações , com sua afirmação de que quintics não poderia ser resolvida por radicais , como o título indica: Teoria geral das equações em que é mostrado que a solução algébrica da equação geral de grau maior do que quatro é impossível. A introdução do livro começa assim: -
A solução de equações algébricas gerais de grau maior que é sempre impossível de quatro . Eis um teorema muito importante, que eu acredito que eu sou capaz de afirmar ( se eu não errar ) : apresentar a prova de que é a principal razão para a publicação deste volume. O imortal Lagrange, com suas reflexões sublimes , forneceu a base da minha prova .
Ruffini usou a teoria do grupo em seu trabalho, mas ele teve que inventar o assunto para si mesmo. Lagrange tinha usado permutações e pode-se argumentar que os grupos aparecem no trabalho de Lagrange , mas desde Lagrange nunca composto permutações é bastante com retrospectiva que agora vemos os primórdios da teoria do grupo em seu trabalho . Ruffini é o primeiro a introduzir a noção da ordem de um elemento, conjugação , a decomposição ciclo de elementos de grupos de permutação e as noções de primitivo e imprimitive . Ele provou alguns teoremas notáveis (não , claro, com a terminologia moderna citado abaixo) : -
A ordem de uma permutação é o mínimo múltiplo comum dos comprimentos na decomposição em ciclos disjuntos .
Um elemento de S5 de ordem 5 é um ciclo de 5 .
Se G < S5 tem ordem divisível por 5, então G tem um elemento de ordem 5.
S5 não tem subgrupos de índice de 3, 4 ou 8.
É um trabalho notável e , exceto por uma lacuna, comprova o teorema de Ruffini reivindicado. A prova é dada em notação moderna em [4] . No entanto, houve uma estranha falta de resposta ao trabalho de Ruffini de matemáticos . Em 1801 Ruffini enviou uma cópia de seu livro de Lagrange . Ele não obteve resposta e por isso ele enviou uma segunda cópia de uma carta [4]: -
Por causa da incerteza que você pode ter recebido meu livro, eu enviar-lhe outro exemplar . Se eu errei em alguma prova , ou se eu disse algo que eu acreditava novo , e que é , na realidade, não é nova, afinal , se eu ter escrito um livro inútil , peço-vos indicá-lo para me sinceramente .
Novamente Ruffini não recebeu resposta e escreveu mais uma vez em 1802 : -
Ninguém tem mais direito ... para receber o livro que eu tomo a liberdade de lhe enviar . ... Ao escrever este livro , eu tinha principalmente em mente para dar uma prova da impossibilidade de resolver equações de grau maior do que quatro.
Alguns matemáticos aceitou a prova de Ruffini , embora seria preciso dizer que Pietro Paoli, o professor Pisa, foi influenciado por motivos patrióticos , quando escreveu em 1799 [4]: -
Li com muito prazer o seu livro ... e recomendo fortemente o teorema mais importante que exclui a possibilidade de resolver equações de grau maior do que quatro. Alegro-me muito com você e com a nossa Itália , que viu uma teoria nascida e aperfeiçoado e que outras nações têm contribuído pouco ...
Para entender essa citação um tem de perceber que Lagrange nasceu em Turim, que fazia parte da Itália na época. Esta reação patriótica à parte, o mundo da matemática parecia quase ignorar grande resultado de Ruffini . Assim como Ruffini reagir ? Ele publicou uma segunda prova em 1803 , que ele esperava que pudesse ser mais facilmente entendido , escrever na introdução: -
Neste livro de memórias , vou tentar provar a mesma proposição [ insolubilidade do quintic ] com , espero, menos raciocínio abstruso e com total rigor .
Pelo menos Ruffini recebeu comentários de Malfatti sobre este papel, mas infelizmente Malfatti não tinha entendido os argumentos de Ruffini e levantou uma objeção falaciosa . Ruffini publicou novas provas em 1808 e 1813. Desta última prova Ayoub escreve em [4]: -
Nada pode ser mais elegante ? Esta prova é, essencialmente, o que mais tarde foi chamado a modificação Wantzel da prova de Abel e foi publicado em 1845. Não é nenhuma surpresa que ele deve assemelhar-se a prova de Ruffini , desde Wantzel diz em seu papel ... "com obras de Abel e Ruffini ... " .
Ruffini não parar de tentar ter o seu trabalho reconhecido pela comunidade matemática. Quando Delambre escreveu em um relatório sobre o estado da matemática desde 1789 : -
Ruffini propõe a provar que é impossível ... ,
Ruffini respondeu : -
... Não só proposto para provar , mas na realidade se mostrou ... .
A pessoa tem que se sentir desesperadamente triste por Ruffini . Se algum matemático havia escrito para ele mostrando -lhe que havia um erro ou até mesmo uma falha na prova , pelo menos Ruffini teria tido a chance de corrigi-lo. No entanto, parecia que ninguém queria saber o que quintics não podiam ser resolvidas por radicais . Ruffini solicitou ao Instituto em Paris para se pronunciar sobre a correção de sua prova e Lagrange, Legendre e Lacroix foram nomeados para examiná-lo. Mais uma vez eles produziram um relatório que foi altamente insatisfatória , tanto quanto Ruffini estava preocupado : -
... se uma coisa não tem importância , nenhum aviso é levado dela e se Lagrange ", com sua frieza " encontrado pouco digno de atenção.
A Royal Society também foram convidados a pronunciar-se sobre a justeza e Ruffini recebeu uma resposta um pouco mais amável que dizia que apesar de não dar a aprovação de partes específicas de trabalho que foram bastante certeza de que ele provou que foi alegado . A única pessoa que o fez reconhecer a importância e correção foi Cauchy . Isto é ainda mais surpreendente, pois Cauchy foi um dos piores de todos os matemáticos a dar crédito aos outros. Ele escreveu para Ruffini em 1821, menos de um ano antes da morte de Ruffini [1]: -
... seu livro de memórias sobre a resolução geral de equações é um trabalho que sempre me pareceu digno da atenção dos matemáticos e que, na minha opinião , prova completamente a impossibilidade de resolver equações algebricamente de maior do que o quarto grau .
Na verdade Cauchy havia escrito uma grande obra em grupos de permutação entre 1813 e 1815 e em que ele generalizou alguns dos resultados de Ruffini . Ele certamente foi muito influenciado pelas idéias de Ruffini . Essa influência através de Cauchy é talvez a única maneira em que o trabalho de Ruffini era fazer um impacto sobre o desenvolvimento da matemática .
Deixamos a história da carreira de Ruffini volta de 1799 , quando começou suas publicações sobre o quinto grau . Ele deixou a Universidade de Modena para passar 7 anos ensinando matemática aplicada na escola militar em Modena. Ele continuou a exercer a medicina e tendem a pacientes do mais pobre ao mais rico da sociedade. Após a queda de Napoleão, Ruffini tornou-se reitor da Universidade de Modena em 1814. A situação política ainda era extremamente complexa e, apesar de suas habilidades pessoais, o grande respeito que ele foi realizado , e sua reputação de honestidade, seu tempo como reitor deve ter sido muito difícil.
Bem como a reitoria , Ruffini realizou uma cadeira de matemática aplicada , uma cadeira de medicina prática e uma cadeira de medicina clínica na Universidade de Modena. Em 1817 houve uma epidemia de tifo e Ruffini continuou a tratar seus pacientes até que ele contraiu a doença mesmo. Apesar de ter feito uma recuperação parcial , ele nunca recuperou totalmente sua saúde e , em 1819, ele deu a sua cadeira de medicina clínica . Ele não desistiu de seu trabalho científico , no entanto, e em 1820 ele publicou um artigo científico sobre o tifo com base em sua própria experiência com a doença.
Existem outros aspectos do trabalho de Ruffini que devem ser mencionados . Ele escreveu várias obras sobre filosofia , um dos quais argumenta contra algumas das ideias filosóficas de Laplace . Ele também escreveu sobre probabilidade e da aplicação de probabilidade de provas em processos judiciais.
Dadas as informações neste artigo sobre a insolubilidade do quinto grau , é razoável perguntar por que Abel foi creditado com provando o teorema de Ruffini , enquanto não tem . Ayoub sugere que a [ 4]: -
... comunidade matemática não estava pronto para aceitar uma idéia tão revolucionária : a de que um polinômio não poderia ser resolvido em radicais . Então, também , o método de permutações era muito exóticos e , deve ser conceeded , conta precoce de Ruffini não é fácil de seguir . ... entre 1800 e 1820 , digamos, o clima da comunidade matemática ... mudou de uma tentativa de solucionar o quíntica para um provando sua impossibilidade ...
Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F
junho 1998
sábado, 5 de novembro de 2011
ARTE MATEMÁTICA (35)
Mais uma imagem da série "gradação" iniciada a dois meses, Desta vez há uma defasagem entre os retângulos que provoca um efeito diferente. Gostaram?
domingo, 23 de outubro de 2011
segunda-feira, 17 de outubro de 2011
Jogos matemáticos - 34
SPACE RACER MULTIPLICATION
Escolha a multiplicação adequada para mover sua espaçonave para a direita ou para a esquerda.
Resolvendo a multiplicação escolhida você se desvia dos obstáculos.
Mas, seja rápido. Senão...
SPACE RACER MULTIPLICATION
Escolha a multiplicação adequada para mover sua espaçonave para a direita ou para a esquerda.
Resolvendo a multiplicação escolhida você se desvia dos obstáculos.
Mas, seja rápido. Senão...
SPACE RACER MULTIPLICATION
terça-feira, 11 de outubro de 2011
O universo das probabilidades
Nos séculos XVIII e XIX, o universo das probabilidades era aceito provisoriamente; hoje a ciência e a lógica pregam a derrubada dos preconceitos contra a probabilidade, pois as incertezas são o traço característico do mundo moderno.
Luiz Barco
Um dia desses estávamos conversando fiado num dos corredores da Universidade, quando um aluno me perguntou, sem mais aquela: “É verdade que, segundo a Matemática, as religiões vão desaparecer?” Imagino que o jovem perguntador tivesse ouvido falar de alguma variação de um célebre problema sobre a gradual diminuição da probabilidade de um acontecimento passado, à medida que aumenta a duração da tradição pela qual foi estabelecido. Uma das mais conhecidas soluções foi apresentada em 1699 pelo matemático escocês John Craig, responsável pela introdução, na Inglaterra, do cálculo diferencial criado pelo filósofo e matemático alemão G.W. Leibniz (1946-1716)
Em seu livro Thelogine Christianae Principia Mathematica, Craig estabeleceu que as desconfianças sobre qualquer história variam na razão dupla do tempo que passou desde o princípio. Por isso seu trabalho foi considerado uma paródia de Isaac Newton, que mostrara, na sua teoria da gravitação, que os corpos se atraem na razão direta de suas massas e na razão inversa no quadrado das distâncias que os separam.
Craig concluiu que a fé nos Evangelhos, se dependesse apenas da tradição oral, terminaria por volta do ano 880; mantida a dependência da tradição escrita, deverá terminar por volta de 3150. Notem que a conclusão embutida na pergunta do jovem estudante é muito mais forte do que a contida no trabalho do matemático. É preciso deixar claro, porém, que leis de grande importância em muitos ramos da pesquisa são derivadas da teoria da probabilidade. Por exemplo: a distribuição dos tiros disparados contra um alvo, a distribuição dos grupamentos de homens segundo sua altura ou seu peso, a distribuição da duração da vida nos indivíduos de algumas espécies, a distribuição na velocidade das moléculas de um gás etc., etc., etc.
Encontramos mais exemplos no livro de William Dampier, Uma historiada ciência e suas relações com a filosofia e a religião, de 1936. Mas vamos deixá-los de lado, para reforçar um alerta: desenvolvemos com os estudantes, no campo da Matemática, programas de estudo quase inteiramente de feições determinísticas, mas, uma vez formados, eles vão viver num mundo de feições estocásticas.
Essa palavra estocástico, hoje bastante comum em ciência, quer dizer incerto, fortuito. Assim, um mundo estocastizado é um mundo onde a sorte, a incerteza – mais especificamente, a probabilidade – são admitidas como um aspecto real. Ainda que ao risco de parecer enfadonho, lembraria mais um exemplo: um destacado especialista em teoria da probabilidade chefiou a comissão nomeada pelo missão nomeada pelo governo nos Estados Unidos para formular recomendações visando minimizar os efeitos do acidente na usina nuclear de Three Miles Island, em 1979.
Nem sempre foi assim, é claro. Mesmo depois de conhecida a teoria da probabilidade, seu uso nos primeiros tempos foi eventual. Os séculos XVIII e XIX foram permeados pela crença na regularidade dos fenômenos naturais, fosse o comportamento das galáxias ou das partículas de matéria, fosse o das pessoas ao levantar da cama pela manhã. Havia uma esperança de que a ciência seria capaz de explicar todos os milagres e todas as incertezas, desvendado leis simples e constantes que governariam todos os fenômenos naturais. O que se esperava da ciência esperava-se também no campo moral e político. O mundo seria deterministicamente explicável e o acaso resultaria apenas de nossa ignorância das leis ainda não reveladas.
O cálculo das probabilidades, nesse universo utópico, era apenas o provisório aceitável enquanto não se chegava à certeza de tudo. Não está muito distante o tempo em que a história das ciências nos encorajava a acreditar nisso. Hoje, ao contrário, a ciência e a lógica (lamentavelmente, não as escolas) pregam exatamente a derrubada dos preconceitos contra a probabilidade. Ela não é mais o provisório; as incertezas são o traço característico do mundo moderno e não apenas o retrato da ignorância dos homens que nele vivem.
Assim como o homem que constrói, o mundo não é uma obra rude e acabada, mas deliciosamente surpreendente. Suas leis, até há bem pouco tempo tidas como perfeitas e exatas, são hoje encaradas como regras flexíveis e variáveis, convenientes para nossos sentidos imperfeitos.
Em seu livro Thelogine Christianae Principia Mathematica, Craig estabeleceu que as desconfianças sobre qualquer história variam na razão dupla do tempo que passou desde o princípio. Por isso seu trabalho foi considerado uma paródia de Isaac Newton, que mostrara, na sua teoria da gravitação, que os corpos se atraem na razão direta de suas massas e na razão inversa no quadrado das distâncias que os separam.
Craig concluiu que a fé nos Evangelhos, se dependesse apenas da tradição oral, terminaria por volta do ano 880; mantida a dependência da tradição escrita, deverá terminar por volta de 3150. Notem que a conclusão embutida na pergunta do jovem estudante é muito mais forte do que a contida no trabalho do matemático. É preciso deixar claro, porém, que leis de grande importância em muitos ramos da pesquisa são derivadas da teoria da probabilidade. Por exemplo: a distribuição dos tiros disparados contra um alvo, a distribuição dos grupamentos de homens segundo sua altura ou seu peso, a distribuição da duração da vida nos indivíduos de algumas espécies, a distribuição na velocidade das moléculas de um gás etc., etc., etc.
Encontramos mais exemplos no livro de William Dampier, Uma historiada ciência e suas relações com a filosofia e a religião, de 1936. Mas vamos deixá-los de lado, para reforçar um alerta: desenvolvemos com os estudantes, no campo da Matemática, programas de estudo quase inteiramente de feições determinísticas, mas, uma vez formados, eles vão viver num mundo de feições estocásticas.
Essa palavra estocástico, hoje bastante comum em ciência, quer dizer incerto, fortuito. Assim, um mundo estocastizado é um mundo onde a sorte, a incerteza – mais especificamente, a probabilidade – são admitidas como um aspecto real. Ainda que ao risco de parecer enfadonho, lembraria mais um exemplo: um destacado especialista em teoria da probabilidade chefiou a comissão nomeada pelo missão nomeada pelo governo nos Estados Unidos para formular recomendações visando minimizar os efeitos do acidente na usina nuclear de Three Miles Island, em 1979.
Nem sempre foi assim, é claro. Mesmo depois de conhecida a teoria da probabilidade, seu uso nos primeiros tempos foi eventual. Os séculos XVIII e XIX foram permeados pela crença na regularidade dos fenômenos naturais, fosse o comportamento das galáxias ou das partículas de matéria, fosse o das pessoas ao levantar da cama pela manhã. Havia uma esperança de que a ciência seria capaz de explicar todos os milagres e todas as incertezas, desvendado leis simples e constantes que governariam todos os fenômenos naturais. O que se esperava da ciência esperava-se também no campo moral e político. O mundo seria deterministicamente explicável e o acaso resultaria apenas de nossa ignorância das leis ainda não reveladas.
O cálculo das probabilidades, nesse universo utópico, era apenas o provisório aceitável enquanto não se chegava à certeza de tudo. Não está muito distante o tempo em que a história das ciências nos encorajava a acreditar nisso. Hoje, ao contrário, a ciência e a lógica (lamentavelmente, não as escolas) pregam exatamente a derrubada dos preconceitos contra a probabilidade. Ela não é mais o provisório; as incertezas são o traço característico do mundo moderno e não apenas o retrato da ignorância dos homens que nele vivem.
Assim como o homem que constrói, o mundo não é uma obra rude e acabada, mas deliciosamente surpreendente. Suas leis, até há bem pouco tempo tidas como perfeitas e exatas, são hoje encaradas como regras flexíveis e variáveis, convenientes para nossos sentidos imperfeitos.
Fonte: revista Superinteressante, maio de 1989
domingo, 9 de outubro de 2011
sexta-feira, 7 de outubro de 2011
*Laplace
Data de Nascimento: 23 de marco, 1749 em Beaumont -en- Auge, Normandia, França
Morreu em: 5 de março de 1827 em Paris , França
O pai de Pierre- Simon Laplace, Pierre Laplace, estava confortavelmente bem fora do comércio cidra. A mãe de Laplace, Marie- Anne Sochon , veio de uma família de agricultores bastante próspero dono de terras em Tourgéville . Muitas contas de Laplace dizer a sua família eram " pobres agrícolas povo " ou " camponeses ", mas estes parecem ser bastante imprecisas , embora haja pouca evidência de desempenho acadêmico , exceto para um tio que é pensado para ter sido um professor do ensino secundário da matemática. Isto é indicado em [ 1], os seguintes termos: -
Há pouco registro de distinção intelectual na família além do que era de se esperar da burguesia provincial cultivada e da nobreza menor.
Laplace frequentou uma escola do convento beneditino em Beaumont -en- Auge, como um aluno dia, entre as idades de 7 e 16 anos. Seu pai esperava que ele fosse fazer uma carreira na Igreja e, de fato , quer a Igreja ou o exército foram os destinos habituais dos alunos da escola do convento . Na idade de 16 Laplace entrou na Universidade de Caen . Como ele ainda estava com a intenção de entrar na Igreja , ele se matriculou para estudar teologia. No entanto, durante os seus dois anos na Universidade de Caen, Laplace descobriu seus talentos matemáticos e seu amor do assunto. O crédito para isso deve ir em grande parte para dois professores de matemática em Caen, C Gadbled e P Le Canu de quem pouco se sabe, exceto que eles perceberam um grande potencial matemática de Laplace .
Uma vez que ele sabia que a matemática era para ser seu assunto, Laplace deixou Caen sem tirar a sua licenciatura , e foi para Paris. Levou consigo uma carta de apresentação para d' Alembert de Le Canu , seu professor em Caen . Embora ele tinha apenas 19 anos quando chegou a Paris , ele rapidamente impressionado d' Alembert . Não só d' Alembert começar a direcionar estudos matemáticos de Laplace , ele também tentou encontrar -lhe uma posição de ganhar dinheiro suficiente para se sustentar em Paris. Encontrar uma posição para um jovem tão talentoso não provar difícil , Laplace e logo foi nomeado professor de matemática na École Militaire . Gillespie escreve em [1]: -
Geometria transmitir , trigonometria, análise elementar, e estática para cadetes adolescente de boa família , nível médio , e sem compromisso com as disciplinas oferecidas pouco estímulo , mas o cargo que permitem Laplace para ficar em Paris.
Ele começou a produzir um fluxo constante de notáveis trabalhos matemáticos , o primeiro apresentou para a Académie des Sciences em Paris em 28 de março de 1770. Este primeiro artigo , leia a Sociedade , mas não publicada , foi sobre máximos e mínimos de curvas onde ele melhorou em métodos dadas por Lagrange . Seu próximo papel para a Academia logo em seguida , e em 18 de julho de 1770 , ele leu um artigo sobre equações diferenciais .
O primeiro artigo de Laplace que era para aparecer na imprensa foi um sobre o cálculo integral, que ele traduziu para o latim e publicada em Leipzig em Nova acta eruditorum em 1771. Seis anos depois, Laplace republicado uma versão melhorada , pedindo desculpas pelo papel 1771 e culpando os erros nele contidos na impressora. Laplace também traduziu o artigo sobre máximos e mínimos para o latim e publicou-o na Nova acta eruditorum em 1774. Além disso , em 1771, Laplace enviou um outro papel Recherches sur le calcul intégral aux diferenças petites infiniment , et aux diferenças finies ao Mélanges de Turim. Este documento continha equações que Laplace declarados foram importantes na mecânica e astronomia física.
O ano de 1771 marca a primeira tentativa de Laplace para ganhar a eleição para a Académie des Sciences , mas Vandermonde foi preferido . Laplace tentou ganhar a admissão de novo em 1772 , mas desta vez o primo foi eleito . Apesar de ter apenas 23 ( e primo 33) Laplace sentia muito irritado por ter sido preterido em favor de um matemático que era tão claramente marcadamente inferior a ele. D' Alembert também deve ter ficado desapontado por , em 01 de janeiro de 1773 , ele escreveu a Lagrange , o Diretor de Matemática da Academia de Ciências de Berlim , perguntando-lhe se não seria possível ter Laplace eleito para a Academia de Berlim e para uma posição para ser encontrado por Laplace , em Berlim.
Antes de Lagrange poderia agir sobre d' Alembert pedido , outra chance para Laplace para ganhar a admissão à Paris Académie surgiu . Em 31 de março de 1773 ele foi eleito um adjunto na Académie des Sciences. Na época de sua eleição, ele tinha lido 13 artigos para a Academia em menos de três anos. Condorcet , que era secretário permanente da Academia , comentou sobre este grande número de trabalhos de qualidade em uma ampla gama de temas.
Nós já mencionamos alguns dos primeiros trabalhos de Laplace . Não só ele tinha feito grandes contribuições para as equações de diferenças e equações diferenciais , mas ele tinha examinado aplicações à astronomia matemática e com a teoria da probabilidade , dois temas principais que ele iria trabalhar em toda a sua vida . Seu trabalho em astronomia matemática antes de sua eleição para a Academia incluíram o trabalho da inclinação das órbitas planetárias , um estudo de como os planetas foram perturbados por suas luas , e em um documento lido para a Academia em 27 de novembro de 1771 , ele fez um estudo dos movimentos dos planetas que seria o primeiro passo para a sua obra-prima , mais tarde, a estabilidade do sistema solar.
A reputação de Laplace aumentado durante a década de 1770 . Foi o período em que [ 1]: -
... estabeleceu seu estilo, reputação, posição filosófica , certas técnicas matemáticas e um programa de pesquisa em duas áreas , probabilidade e mecânica celeste , em que trabalhou matematicamente para o resto de sua vida.
Os anos 1780 foram o período em que Laplace produzido a profundidade de resultados que fizeram dele um dos cientistas mais importantes e influentes que o mundo já viu. Ele não foi atingido , no entanto, com um bom relacionamento com seus colegas . Apesar de d' Alembert tinha sido o orgulho de ter considerado Laplace como seu protegido, ele certamente começou a sentir que Laplace foi rapidamente fazer grande parte do trabalho de sua própria vida obsoleto e este não fez nada para melhorar as relações . Laplace tentou aliviar a dor de d' Alembert , salientando a importância de d' Alembert trabalhar desde que ele , sem dúvida, me senti bem disposto para d' Alembert para a ajuda e apoio que ele havia dado.
Parece que Laplace não era modesto sobre suas habilidades e realizações , e ele provavelmente falhou em reconhecer o efeito de sua atitude sobre seus colegas . Lexell visitou a Académie des Sciences de Paris, em 1780-81 e relatou que Laplace que seja amplamente conhecido que ele se considerava o melhor matemático da França . O efeito sobre seus colegas teria sido apenas levemente aliviado pelo fato de que Laplace tinha razão ! Laplace tinha um amplo conhecimento de todas as ciências e dominava todas as discussões na Académie . Como Lexell escreveu: -
... na Academia quis pronunciar-se sobre tudo.
Foi enquanto Lexell estava em Paris que Laplace fez uma excursão em uma nova área da ciência [2] : -
Aplicando métodos quantitativos para uma comparação de sistemas vivos e não vivos , Laplace e o químico Antoine Lavoisier , em 1780 , com o auxílio de um calorímetro de gelo que tinham inventado, respiração mostrou ser uma forma de combustão .
Embora ele logo voltou ao seu estudo da astronomia matemática , este trabalho com Lavoisier marcou o início de uma terceira área de pesquisa importante para Laplace , ou seja, seu trabalho em física particularmente na teoria do calor que ele trabalhou para o final de sua carreira.
Em 1784, Laplace foi nomeado examinador do Real Corpo de Artilharia e, nesse papel , em 1785 , ele a examinou e passou a 16 anos, Napoleão Bonaparte. Na verdade, esta posição deu muito trabalho Laplace na redação de relatórios sobre os cadetes que ele examinou , mas as recompensas eram de que ele tornou-se bem conhecido dos ministros do governo e outros em posições de poder na França .
Laplace servido em muitos dos comitês da Académie des Sciences , por exemplo Lagrange escreveu-lhe em 1782 dizendo que o trabalho em seu Traité de mécanique analytique estava quase completa e uma comissão da Académie des Sciences composto de Laplace, Cousin, Legendre e Condorcet foi criado para decidir sobre a publicação . Laplace servido em uma comissão criada para investigar o maior hospital em Paris , e ele usou sua experiência em probabilidade para comparar as taxas de mortalidade no hospital com os de outros hospitais em França e noutros países .
Laplace foi promovido para uma posição sênior na Académie des Sciences em 1785. Dois anos mais tarde Lagrange deixou Berlim para se juntar Laplace como membro da Académie des Sciences em Paris. Assim, os dois grandes gênios matemáticos reuniram-se em Paris e , apesar de uma rivalidade entre eles, cada um foi para se beneficiar imensamente com as idéias que fluem a partir do outro . Laplace se casou em 15 de maio de 1788. Sua esposa, Marie- Charlotte de Courty de Romanges , era 20 anos mais jovem do que a 39 anos de idade Laplace . Eles tiveram dois filhos , seu filho Charles- Émile , que nasceu em 1789, passou a uma carreira militar.
Laplace foi feito um membro do comitê da Académie des Sciences de padronizar pesos e medidas maio 1790 . Essa comissão trabalhou no sistema métrico e defendeu uma base decimal . Em 1793, o Reino do Terror começou ea Académie des Sciences, juntamente com as outras sociedades científicas , foi suprimida em 8 de agosto . Os pesos e medidas comissão era o único autorizado a continuar , mas logo Laplace, juntamente com Lavoisier , Borda, Coulomb , Brisson e Delambre foram expulsos da comissão uma vez que todos aqueles no comitê tinha que ser digno : -
... por suas virtudes republicanas e ódio dos reis.
Antes do 1793 Reign of Terror Laplace , juntamente com sua esposa e dois filhos saíram de Paris e viveu 50 km ao sudeste de Paris. Ele não retornou a Paris , até depois de julho de 1794. Embora Laplace conseguiu evitar o destino de alguns de seus colegas durante a Revolução , como Lavoisier , que foi guilhotinado maio 1794 enquanto Laplace estava fora de Paris, ele teve alguns momentos difíceis . Ele foi consultado , juntamente com Lagrange e Laland , sobre o novo calendário para a Revolução . Laplace sabia muito bem que o regime proposto não funcionou porque a duração do ano proposto não se encaixava com os dados astronômicos. No entanto, ele era sábio o suficiente para não tentar anular dogma político com os fatos científicos . Ele também conformada , talvez mais felizes , para as decisões sobre a divisão métrica de ângulos em 100 subdivisões .
Em 1795, a École Normale foi fundada com o objectivo de professores da escola de formação e de Laplace ministrou cursos lá, incluindo um sobre a probabilidade que ele deu em 1795. A École Normale sobreviveu por apenas quatro meses para os 1.200 alunos, que estavam treinando para se tornar professores , constatou o nível de ensino muito além deles. Isso é totalmente compreensível . Mais tarde Laplace escreveu as palestras de seu curso na École Normale como Essai philosophique sur les probabilites publicado em 1814. A revisão do Essai estados : -
... depois de uma introdução geral sobre os princípios da teoria da probabilidade , encontra-se uma discussão sobre uma série de aplicações , incluindo aqueles para os jogos de azar , a filosofia natural, as ciências morais , testemunho, decisões judiciais e mortalidade.
Em 1795, a Académie des Sciences foi reaberto como o Institut National des Sciences et des Arts. Também em 1795, o Bureau des Longitudes foi fundada com Lagrange e Laplace como os matemáticos entre seus membros fundadores e Laplace passou a liderar a Mesa e do Observatório de Paris . No entanto , embora alguns consideraram que ele fez um bom trabalho nestes postos outros o criticaram por ser muito teórico. Delambre escreveu alguns anos mais tarde : -
... nunca se deve colocar um geômetra na cabeça de um observatório , ele vai esquecer todas as observações , exceto aqueles necessários para suas fórmulas .
Delambre escreveu também sobre a liderança de Laplace do Bureau des Longitudes : -
Pode-se censurar [ Laplace ] com o fato de que em mais de 20 anos de existência do Bureau des Longitudes não determinou a posição de uma única estrela , ou realizada a preparação do menor catálogo.
Laplace apresentou sua famosa hipótese nebular em 1796 na Exposition du Système du monde , visto que o sistema solar como originários da contratação e resfriamento de um grande achatada, e girando lentamente nuvem de gás incandescente . A exposição composta por cinco livros : o primeiro foi sobre os movimentos dos corpos celestes, o movimento do mar, e também de refração atmosférica aparentes , a segunda foi no movimento real dos corpos celestes , o terceiro estava em vigor e impulso ; o quarto era sobre a teoria da gravitação universal e incluiu uma conta do movimento do mar e da forma da Terra , o último livro fez um relato histórico da astronomia e incluiu sua famosa hipótese nebular . Laplace afirma sua filosofia da ciência na Exposição da seguinte forma: -
Se o homem fosse restrita a coleta de dados das ciências eram apenas uma nomenclatura estéril e ele nunca teria conhecido as grandes leis da natureza. É na comparação dos fenômenos entre si, na busca de compreender as suas relações , que ele é levado a descobrir essas leis ...
Em vista das modernas teorias de impactos de cometas sobre a Terra é particularmente interessante ver visão extremamente moderna de Laplace desta : -
... a pequena probabilidade de colisão entre a Terra e um cometa pode se tornar muito grande na adição de mais uma longa seqüência de séculos. É fácil imaginar os efeitos desse impacto na Terra. O eixo eo movimento de rotação mudaram, os mares abandonando sua antiga posição ..., uma grande parte dos homens e animais se afogaram neste dilúvio universal , ou destruídos pelo tremor violento transmitida para o globo terrestre .
Exposition du Système du monde foi escrito como uma introdução não -matemático a obra mais importante de Laplace Traité de Mécanique Céleste cujo primeiro volume apareceu três anos depois. Laplace já tinha descoberto a invariabilidade de planetários movimentos médios . Em 1786 ele provou que as excentricidades e inclinações das órbitas planetárias para o outro sempre permanecem pequenas , constante e auto-correção . Estes e muitos outros de seus resultados anteriores formaram a base para a sua grande obra do Traité de Mécanique Céleste publicado em cinco volumes , os dois primeiros em 1799.
O primeiro volume do Mécanique Céleste é dividido em dois livros, o primeiro em leis gerais do equilíbrio e movimento de sólidos e também fluidos, enquanto que o segundo livro é sobre a lei da gravitação universal e os movimentos dos centros de gravidade dos corpos no sistema solar. A principal abordagem matemática aqui é a criação de equações diferenciais e resolvê-los para descrever os movimentos resultantes. O segundo volume trata de mecânica aplicada ao estudo dos planetas . Nele Laplace incluiu o estudo da forma da Terra, que inclui uma discussão dos dados obtidos a partir de várias diferentes expedições , e Laplace aplicada a teoria dos erros para os resultados. Outro tema estudado por Laplace foi a teoria das marés , mas Airy , dando seus próprios resultados de cerca de 50 anos mais tarde, escreveu: -
Seria inútil para oferecer essa teoria na mesma forma em que Laplace lhe deu , para que parte da Mecânica Celeste , que contém a teoria das marés é, talvez, no seu conjunto mais obscura do que qualquer outra parte ...
Na equação do Mécanique Céleste Laplace aparece, mas embora agora nomear esta equação depois de Laplace , era de fato conhecido antes do tempo de Laplace . As funções de Legendre também aparecem aqui e eram conhecidos por muitos anos como os coeficientes de Laplace. O Mécanique Céleste não atribui muitas das idéias para o trabalho dos outros , mas Laplace foi fortemente influenciado por Lagrange e por Legendre e métodos que eles tinham desenvolvido , com poucas referências aos autores das idéias usadas .
Sob Napoleão Laplace era um membro , então chanceler, do Senado, e recebeu a Legião de Honra em 1805. No entanto, Napoleão , em suas memórias escritas em St Hélène , diz ele removeu Laplace do cargo de Ministro do Interior, que ocupou em 1799, depois de apenas seis semanas : -
... porque ele trouxe o espírito do infinitamente pequeno para o governo.
Laplace tornou-se Conde do Império em 1806 e foi nomeado marquês em 1817, após a restauração dos Bourbons .
A primeira edição de Laplace Théorie des Analytique probabilites foi publicado em 1812. Esta primeira edição foi dedicada a Napoleão -le -Grand , mas , por razões óbvias , a dedicação foi removido em edições posteriores ! O trabalho consistiu de dois livros e uma segunda edição dois anos mais tarde se por um aumento do material de cerca de um adicional de 30 por cento.
Os primeiros estudos de livros funções de geração e também aproximações de várias expressões que ocorrem na teoria da probabilidade . O segundo livro contém a definição de probabilidade de Laplace , a regra de Bayes (assim chamado por Poincaré , muitos anos depois ) , e observações sobre a expectativa moral e matemática. O livro continua com métodos de encontrar probabilidades de eventos compostos quando as probabilidades de seus componentes simples são conhecidos , em seguida, uma discussão sobre o método dos mínimos quadrados , o problema da agulha de Buffon e probabilidade inversa . Aplicações à mortalidade, expectativa de vida e da duração dos casamentos são dadas e , finalmente, Laplace olha expectativa moral e probabilidade em assuntos jurídicos .
Edições posteriores do Théorie des Analytique probabilites também contém suplementos que consideram aplicações de probabilidade para : erros em observações , a determinação das massas de Júpiter, Saturno e Urano , métodos de triangulação em agrimensura , geodésia e problemas , em particular, a determinação do meridiano da França. Grande parte deste trabalho foi feito por Laplace entre 1817 e 1819 e aparece na edição 1820 do Analytique Théorie . Um quarto suplemento um pouco menos impressionante , que retorna para o primeiro tópico de funções geradoras, apareceu com a edição de 1825. Este suplemento final foi apresentado ao Instituto de Laplace, que foi de 76 anos por esta altura, e por seu filho .
Nós mencionamos brevemente acima primeiro trabalho de Laplace na física em 1780 , que estava fora da área de mecânica na qual ele tanto contribuiu . Volta de 1804 Laplace parece ter desenvolvido uma abordagem para a física que seria extremamente influente por alguns anos. Isto é melhor explicado pelo próprio Laplace : -
... Tenho procurado estabelecer que os fenômenos da natureza podem ser reduzidos em última análise às ações à distância entre molécula e molécula, e que a consideração destas ações devem servir como base da teoria matemática destes fenômenos .
Esta abordagem para a física , a tentativa de explicar tudo a partir das forças que atuam localmente entre moléculas, já foi utilizado por ele no quarto volume do Mécanique Céleste , que apareceu em 1805. Este volume inclui um estudo de pressão e densidade , refração astronômica , a pressão barométrica e a transmissão de gravidade com base nesta nova filosofia da física. Ressalte-se que era uma nova abordagem , não porque as teorias de moléculas eram novos , mas sim porque foi aplicado a uma gama muito maior de problemas do que qualquer teoria anterior e , tipicamente de Laplace, era muito mais matemática do que qualquer anterior teorias.
O desejo de Laplace a assumir um papel de liderança na física o levou a se tornar um membro fundador da Société d' Arcueil em torno de 1805. Juntamente com o químico Berthollet , ele montou a sociedade que operava fora de suas casas em Arcueil que era ao sul de Paris. Entre os matemáticos que eram membros deste grupo ativo de cientistas foram Biot e Poisson. O grupo fortemente defendida uma abordagem matemática para a ciência com Laplace desempenhando o papel de liderança . Isto marca o auge da influência de Laplace, dominante também no Instituto e ter uma poderosa influência sobre a École Polytechnique e os cursos que os alunos estudaram lá.
Após a publicação do quarto volume da Mecânica Celeste , Laplace continuou a aplicar suas idéias da física para outros problemas, como a ação capilar ( 1806-1807 ) , dupla refração (1809) , a velocidade do som ( 1816 ) , a teoria da calor, em particular, a forma e a rotação da terra de arrefecimento (1817-1820) , e os fluidos elásticas ( 1821 ) . No entanto, durante este período a sua posição dominante na ciência francês chegou ao fim e outros com diferentes teorias físicas começou a crescer em importância.
A Société d' Arcueil, depois de alguns anos de alta atividade , começou a tornar-se menos ativa, com as reuniões tornando-se menos regulares por volta de 1812 . As reuniões terminaram completamente no ano seguinte. Arago , que tinha sido um membro fiel da sociedade , começou a favorecer a teoria ondulatória da luz , tal como proposto por Fresnel em torno de 1815 , que foi diretamente oposto à teoria corpuscular que Laplace apoiado e desenvolvido . Muitas outras teorias físicas de Laplace foram atacados , por exemplo, sua teoria calórica do calor estava em desacordo com o trabalho de Petit e de Fourier . No entanto, Laplace não admitem que suas teorias físicas estavam errados e manteve a sua crença em fluidos de calor e luz , escrevendo artigos sobre estes temas quando mais de 70 anos de idade.
No momento em que a sua influência foi diminuindo, a tragédia pessoal atingiu Laplace . Sua única filha, Sophie- Suzanne , havia se casado com o Marquês de Portes e ela morreu no parto em 1813. A criança , no entanto, sobreviveu e é através dela que não são descendentes de Laplace . O filho de Laplace, Charles- Émile , viveu até a idade de 85, mas não tinha filhos.
Laplace sempre tinha mudado seus pontos de vista com a mudança acontecimentos políticos da época, modificando suas opiniões se encaixar com as mudanças políticas freqüentes que eram típicas deste período . Esta maneira de se comportar adicionado ao seu sucesso nos anos 1790 e 1800 , mas certamente não fizeram nada para as suas relações pessoais com seus colegas que viram as suas mudanças de pontos de vista meramente como tenta ganhar favor. Em 1814 Laplace apoiou a restauração da monarquia Bourbon e exercer o seu voto no Senado contra Napoleão . Os cem dias foram uma vergonha para o ano seguinte e ele convenientemente deixou Paris para o período crítico. Depois disso, ele continuou a ser um defensor da monarquia Bourbon e tornou-se impopular nos círculos políticos . Quando ele se recusou a assinar o documento da Academia Francesa de Ciências, apoiando a liberdade de imprensa em 1826 , ele perdeu os restantes amigos que tinha na política.
Na manhã desta segunda-feira 05 de março de 1827 Laplace morreu . Poucos eventos faria com que a Academia de cancelar uma reunião, mas eles fizeram naquele dia como um sinal de respeito para um dos maiores cientistas de todos os tempos. Surpreendentemente, não houve decisão rápida para preencher o lugar deixado vago com sua morte e com a decisão da Academia Francesa de Ciências, em outubro 1827 não para preencher o lugar vago por mais 6 meses não resultou em um compromisso nessa fase, mais alguns meses decorrido até Puissant foi eleito como sucessor de Laplace .
Artigo por: J J O'Connor e Robertson E F
janeiro 1999
quarta-feira, 5 de outubro de 2011
ARTE MATEMÁTICA (34)
sexta-feira, 23 de setembro de 2011
sábado, 17 de setembro de 2011
Jogos matemáticos - 33
ALGEBRAIC REASONING
Ideal para trabalhar o pensamento algébrico, neste jogo você é convidado a descobrir o valor de um objeto a partir de outras informações.
É o equivalente, na práica a resolver uma equação simples.
Simples? Talvez não...
ALGEBRAIC REASONING
Ideal para trabalhar o pensamento algébrico, neste jogo você é convidado a descobrir o valor de um objeto a partir de outras informações.
É o equivalente, na práica a resolver uma equação simples.
Simples? Talvez não...
ALGEBRAIC REASONING
sexta-feira, 9 de setembro de 2011
quarta-feira, 7 de setembro de 2011
AGNESI
Maria Gaëtana Agnesi
Nascida em 16 de maio de 1718 e falecida em 9 de janeiro de 1799 em Milão, Reino dos Habsburgos (hoje Itália)
Maria Gaetana Agnesi era filha de Pietro Agnesi oriundo de uma abastada família que fez fortuna com a seda.
Pietro Agnesi teve 21 filhos de 3 esposas e Maria foi a filha mais velha.
Segundo historiadores, Pietro Agnesi:-
... pertenceu a uma classe intermediária entre os nobres e os meramente ricos. Como um burguês, poderia ter uma habitação digna de um lord, comportar-se como um cavaleiro, misturar-se livremente à nobreza, ocupar-se com as coisas finas da vida, ser um protetor de pessoas de talento. [Pietro Agnesi] fez exatamente isto...
Há quem descreva Pietro como um professor de Matemática em Bolonha, o que é totalmente incorreto embora muitos creiam nisto.
Pietro Agnesi podia conseguir tutores altamente qualificados para Maria Agnesi e, na verdade, ele proporcionou a ela os melhores tutores disponíveis que eram todos, jovens homens de ciência da Igreja.
Ela demonstrou extraordinário talento e dominou bem cedo muitos idiomas como Latim, Grego e Hebraico.
Aos 9 anos publicou um discurso em Latim em defesa da educação superior para mulheres.
Não era um texto de Agnesi como alguns alegam e sim um artigo em italiano escrito por um de seus tutores que ela traduziu e "proferiu de memória para uma reunião de acadêmicos organizada por seu pai no jardim".
Em 1738 publicou Proposições Filosóficas, uma série de ensaios sobre Filosofia e Ciência Natural.
O volume continha 191 teses filosóficas que Agnesi defenderia em disputas com um público especialmente selecionado de importantes personalidades nacionais e estrangeiras que seu pai convidava à sua casa.
Agnesi chegou a pedir ao pai permissão para tornar-se uma freira. Horrorizado com a perspectiva de que sua filha mais querida pudesse desejar deixá-lo, ele implorou para que ela mudasse de idéia.
Ela concordou em continuar morando em sua casa e cuidando dele com três condições: que ela fosse à igreja sempre que desejasse, que ela se vestisse simples e humildemente e que ela abandonasse todos os divertimentos profanos.
Agnesi concentrou seus esforços no estudo de livros religiosos e no aprendizado da Matemática. Neste período ela escreveu um comentário sobre o "Tratado analítico de secções cônicas" de L'Hôpital, mas, nunca chegou a publicá-lo.
Aprender Matemática sem instrução adequada é uma tarefa quase impossível e somente uns poucos já obtiveram resultados significativos desse modo. Entretanto, para o monge e matemático Ramiro Rampinelli, que havia sido professor em Roma e Bolonha e que chegado a Milão tornou-se um assíduo visitante de sua casa, Agnesi foi afortunada em sua tentativa. Com a ajuda de Rampinelli, Agnesi estudou o "Analyse Démontrée"(1708), um texto de cálculo de Reyneau.
Rampinelli encorajou-a a escrever um livro de Cálculo Diferencial. Ela o escreveu em italiano na forma de um texto didático, o qual, de acordo com o prefácio, tentava apresentar o material "dotado de clareza e simplicidade apropriadas" que segue uma ordem natural e fornece, talvez, a melhor instrução e o maior entendimento.
Sentindo-se em débito com relação ao auxílio de Rampinelli, Agnesi escreveu palavras de agradecimento no prefácio deste livro.
Com o dinheiro do pai, Agnesi pode providenciar a impressão do livro em sua própria casa onde foi possível que ela mesma supervisionasse toda a operação. Entretanto, ela desejou obter a contribuição de matemáticos importantes, então, em 20 de julho de 1975, escreveu a Riccati.
Foi Rampinelli que sugeriu que Riccati (que foi um de seus professores) poderia aconselhá-la. Ele concordou em ler o rascunho final do livro de Agnesi e fazer sugestões.
Riccati respondeu rapidamente a 1ª carta de Agnesi e prometeu passar o texto a seus dois filhos, Vincenzo e Giordano para que também comentassem o trabalho.
Assim que recebeu de Riccati os comentários sobre a 1ª parte do texto, Agnesi organizou a impresão desta parte enquanto enviava as partes seguintes para serem comentadas. Em 1747 eram enviadas as últimas partes do livro com a notícia de que a impressão das partes iniciais estava quase completa.
Em 1º de fevereiro de 1747, Riccati escreveu a Rampinelli oferecendo seu mais novo trabalho sobre integração para ser incluído no livro de Agnesi. Esta aceitou a sugestão incluindo o texto e um agradecimento a seu autor.
O 1º volume do famoso livro "Instituzione analitiche ad uso della gioventù italiana" foi publicado em 1748 enquanto Agnesi continuava a se corresponder com Riccati sobre o material para o 2º volume que seria publicado no ano seguinte.
Este trabalho lhe trouxe muita fama.
Um comentário feito pela Academia Parisiense de Ciências afirmava: "nós o consideramos o tratado mais completo e bem feito".
O papa Bento XIV escreveu a ela dizendo que havia estudado Matemática quando jovem e podia ver que seu trabalho traria crédito para a Itália e para a Academia de Bolonha.
Logo depois disto, Agnesi foi indicada pelo papa para a Universidade de Bolonha.
Nova carta foi escrita pelo papa em 26 de outubro de 1750.
Éprovável que Agnesi não tenha aceitado e nem recusado esta oferta, porém, em outubro, recebeu ainda mais uma missiva papal confirmando sua indicação.
Ela já havia, no entanto, se dedicado a uma vida de santidade e reclusão e enquanto seu nome permaneceu nos registros da Universidade por 45 anos, ela nunca foi para Bolonha, dedicando-se inteiramente, a pós a morte de seu pai, em 1752, a causas humanitárias.
Todo o seu dinheiro foi gasto com caridade e Agnesi morreu na mais completa pobreza.
Uma interessante curiosidade sobre Agnesi diz respeito a uma curva cúbica discutida por ela em seu livro e que hoje é conhecida como "bruxa de Agnesi" ( witch of Agnesi, em inglês).
Muitas são as versões para o fato de a curva ter ganho este nome. A mais aceita refere-se a um erro de tradução.
Originalmente, a curva recebeu o nome "versoria" que em Latim significa"corda de manobrar vela de embarcação" e mais tarde "versiera" em Italiano.
Ao fazer a tradução do livro de Agnesi para o inglês, John Colson parece ter confundido "la versiera" com "l'aversiera" ( que significa "a bruxa").
A partir de então esta denominação passou a ser usada por alguns embora muitos autores prefiram simplesmente "curva de Agnesi".
Texto adaptado de um artigo de J J O'Connor and E F Robertson
Janeiro de 1999
MacTutor History of Mathematics
segunda-feira, 5 de setembro de 2011
ARTE MATEMÁTICA (33)
Imagine vários retângulos semitransparentes de tamanhos diversos e sobrepostos.
As partes sobrepostas ficarão mais escuras não acha?
Bem, não precisa imaginar. O desenho acima é exatamente isto. Somente retângulos. Que tal?
terça-feira, 23 de agosto de 2011
sexta-feira, 19 de agosto de 2011
DIVIRTA-SE (32)
Resolva isso:
ALFA + BETA + GAMA = DELTA
Substitua cada letras por um algarismo de modo que a soma seja verdadeira.
Existe mais de uma solução.
ALFA + BETA + GAMA = DELTA
Substitua cada letras por um algarismo de modo que a soma seja verdadeira.
Existe mais de uma solução.
quarta-feira, 17 de agosto de 2011
Jogos matemáticos - 32
KANGAROO HOP
Nesta corrida de cangurus, você só avança se reconhecer as figuras que são pedidas.
Clique na figura certa e vença o jogo!
KANGAROO HOP
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Clique na figura certa e vença o jogo!
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quinta-feira, 11 de agosto de 2011
Geometria com Urso e sem Urso: Colocando a Matemática em Xeque
A geometria analisada de diferentes formas.
Luiz Barco
Partindo de um certo ponto da Terra, um
caçador andou 10 quilômetros para o sul, 10 quilômetros para o leste e 10
quilômetros para o norte, voltando ao ponto de partida. Ali encontrou um urso.
De que cor é o urso?
Existem muitas versões dessa velha charada, e estou usando-a para ilustrar uma idéia. Recentemente apresentei esse problema a um grupo de estudantes da universidade. Eles fizeram observações interessantes. A primeira dizia ser impossível o caçador voltar ao ponto de partida, andando a mesma distância para o sul, para o lesta e para o norte. O esquema dessa solução é este:
Não foi difícil mostrar a esses jovens o erro de seu raciocínio: a Terra seguramente não é uma superfície plana, mas curva. A partir daí, outro grupo de jovens imaginou que o correto seria desenhar o trajeto do caçador assim:
A solução, então, estava à vista: andando 10 quilômetros naqueles três direções perpendiculares, o caçador só voltará exatamente ao ponto de partida se começar a andar exatamente no pólo norte.
E o urso? Como a história se passa no pólo norte, só pode ser um urso polar, branco, portanto. Toda a dificuldade em solucionar esse pequeno problema reside no hábito de pensar a geometria sobre um plano. Esse nosso hábito deve ter nascido por volta do terceiro século antes de Cristo e se deve a um dos mais exuberantes matemáticos que o mundo já conheceu: Euclides. Dele, e das muitas coisas que fez, cuidarei futuramente. Agora quero lembrar que uma de suas idéias fundamentais dizia: tomando-se um ponto fora de uma reta dada, somente uma das infinitas retas que passam sobre esse ponto é paralela à reta dada ( esta proposição é conhecida como o Quinto Postulado de Euclides).
No século passado, os matemáticos ousaram substituir esse postulado, plantando o marco inicial da Geometria chamada não-euclidiana. Essa ousadia teve como conseqüência a possibilidade de se construírem geometrias inteiramente arbitrarias- das quais a de Euclides continua sendo a mais simples. Ela diz que só é possível traçar uma paralela; outras dizem ser possível traçar uma infinidade de paralelas; e outras dizem que não há paralela alguma.
Imaginemos seres bem pequenos, habitantes de uma esfera polida com as dimensões da Terra. Eles tomam sobre o equador um segmento AB de 1 metro de comprimento; nas extremidades A e B levantam duas perpendiculares e marcam AC e BD também de 1 metro de comprimento. Eles pensarão ter traçado duas paralelas, imaginando que, por mais que prolonguem os segmentos AC e BD- cuidando que os sucessivos metros sejam exatamente o prolongamento do anterior-, as duas linhas manter-se-ão indefinidamente separadas.
Mas, se tentarem reproduzir experimentalmente essa idéia, vão verificar que, ao contrário, as linhas vão aos poucos se aproximando, para se unirem no pólo norte.
A geometria esférica é uma geometria sem paralelas. A relatividade geral de Albert Einstein sugere que os homens no Universo são comparáveis a formigas deslocando-se sobre uma bola lisa do tamanho da Terra. Mas o Universo é muito menos curvo para os homens do que a bola para as formigas, de modo que a Geometria euclidiana continua conveniente para nosso espaço físico usual. O problema que deu origem a essas divagações tem outras soluções. Imagine que você está no pólo sul; trace círculos concêntricos, com diferentes comprimentos. Um desses círculos terá 10 quilômetros de comprimento e qualquer ponto 10 quilômetros ao norte dele satisfará as condições do problema inicial. O caçador anda 10 quilômetros para o sul e chega a esse circulo; anda 10 quilômetros para o leste e dá uma volta completa; ao andar 10 quilômetros para o norte, volta ao ponto de partida. A conclusão é simples: mesmo que uma solução pareça fechar um problema perfeitamente, é sempre preciso ousar crer que existem outras, igualmente válidas. Nessa nova solução, vai sobrar o urso: não existem desses bichos no pólo sul. E eles nem tem nada a ver com a Matemática.
Existem muitas versões dessa velha charada, e estou usando-a para ilustrar uma idéia. Recentemente apresentei esse problema a um grupo de estudantes da universidade. Eles fizeram observações interessantes. A primeira dizia ser impossível o caçador voltar ao ponto de partida, andando a mesma distância para o sul, para o lesta e para o norte. O esquema dessa solução é este:
Não foi difícil mostrar a esses jovens o erro de seu raciocínio: a Terra seguramente não é uma superfície plana, mas curva. A partir daí, outro grupo de jovens imaginou que o correto seria desenhar o trajeto do caçador assim:
A solução, então, estava à vista: andando 10 quilômetros naqueles três direções perpendiculares, o caçador só voltará exatamente ao ponto de partida se começar a andar exatamente no pólo norte.
E o urso? Como a história se passa no pólo norte, só pode ser um urso polar, branco, portanto. Toda a dificuldade em solucionar esse pequeno problema reside no hábito de pensar a geometria sobre um plano. Esse nosso hábito deve ter nascido por volta do terceiro século antes de Cristo e se deve a um dos mais exuberantes matemáticos que o mundo já conheceu: Euclides. Dele, e das muitas coisas que fez, cuidarei futuramente. Agora quero lembrar que uma de suas idéias fundamentais dizia: tomando-se um ponto fora de uma reta dada, somente uma das infinitas retas que passam sobre esse ponto é paralela à reta dada ( esta proposição é conhecida como o Quinto Postulado de Euclides).
No século passado, os matemáticos ousaram substituir esse postulado, plantando o marco inicial da Geometria chamada não-euclidiana. Essa ousadia teve como conseqüência a possibilidade de se construírem geometrias inteiramente arbitrarias- das quais a de Euclides continua sendo a mais simples. Ela diz que só é possível traçar uma paralela; outras dizem ser possível traçar uma infinidade de paralelas; e outras dizem que não há paralela alguma.
Imaginemos seres bem pequenos, habitantes de uma esfera polida com as dimensões da Terra. Eles tomam sobre o equador um segmento AB de 1 metro de comprimento; nas extremidades A e B levantam duas perpendiculares e marcam AC e BD também de 1 metro de comprimento. Eles pensarão ter traçado duas paralelas, imaginando que, por mais que prolonguem os segmentos AC e BD- cuidando que os sucessivos metros sejam exatamente o prolongamento do anterior-, as duas linhas manter-se-ão indefinidamente separadas.
Mas, se tentarem reproduzir experimentalmente essa idéia, vão verificar que, ao contrário, as linhas vão aos poucos se aproximando, para se unirem no pólo norte.
A geometria esférica é uma geometria sem paralelas. A relatividade geral de Albert Einstein sugere que os homens no Universo são comparáveis a formigas deslocando-se sobre uma bola lisa do tamanho da Terra. Mas o Universo é muito menos curvo para os homens do que a bola para as formigas, de modo que a Geometria euclidiana continua conveniente para nosso espaço físico usual. O problema que deu origem a essas divagações tem outras soluções. Imagine que você está no pólo sul; trace círculos concêntricos, com diferentes comprimentos. Um desses círculos terá 10 quilômetros de comprimento e qualquer ponto 10 quilômetros ao norte dele satisfará as condições do problema inicial. O caçador anda 10 quilômetros para o sul e chega a esse circulo; anda 10 quilômetros para o leste e dá uma volta completa; ao andar 10 quilômetros para o norte, volta ao ponto de partida. A conclusão é simples: mesmo que uma solução pareça fechar um problema perfeitamente, é sempre preciso ousar crer que existem outras, igualmente válidas. Nessa nova solução, vai sobrar o urso: não existem desses bichos no pólo sul. E eles nem tem nada a ver com a Matemática.
Luiz Barco é professor da Escola de
Comunicações e Artes da Universidade de São Paulo
Fonte: Revista Superinteressante, março de 1989
Fonte: Revista Superinteressante, março de 1989
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