84 - Matemática - Aula 9 - Representações, gráficos, transformações - Parte 1

DIVIRTA-SE (84)

Determine quais são os 3 números consecutivos de três algarismos tais que, o menor é múltiplo de 7, o maior é múltiplo de 11 e o do meio é múltiplo de 9.

Jogos matemáticos - 84

PUZZLE PICS MULTIPLICATION

Para formar o quadro completo, coloque cada parte da figura no lugar correspondente ao resultado da multiplicação indicada.

PUZZLE PICS MULTIPLICATION

FRACTAIS (24)

Tudo que você sempre quis perguntar

Como o próprio título do vídeo diz, aqui você vai encontrar respostas para muitas perguntas curiosas...
Vamos lá?

*ARQUIMEDES

Arquimedes de Siracusa

Data de Nascimento: 287 aC em Siracusa, Sicília (agora Itália)
Morreu em: 212 aC em Siracusa, Sicília (agora Itália)

pai de Arquimedes foi Phidias, um astrônomo. Não sabemos nada mais sobre Phidias diferente deste facto e só sabemos isso desde Arquimedes nos dá esta informação em uma de suas obras, O Sandreckoner. Um amigo de Arquimedes chamado Heracleides escreveu uma biografia dele, mas infelizmente este trabalho é perdido. Como nosso conhecimento de Arquimedes seria transformado se este trabalho perdido nunca foram encontrados, ou mesmo extratos encontrados na escrita de outros.

Arquimedes era natural de Siracusa, Sicília. É relatado por alguns autores que visitou o Egito e lá inventou um dispositivo agora conhecido como Parafuso de Arquimedes. Esta é uma bomba, ainda usado em muitas partes do mundo. É altamente provável que, quando ele era um jovem, Archimedes estudou com os sucessores de Euclides em Alexandria. Certamente ele estava completamente familiarizados com a matemática desenvolvidos lá, mas o que torna esta conjectura muito mais certo, ele conhecia pessoalmente os matemáticos que trabalham lá e enviou os seus resultados a Alexandria com mensagens pessoais. Ele considerava Conon de Samos, um dos matemáticos em Alexandria, ambos muito altamente para suas habilidades como um matemático e ele também considerou-o como um amigo próximo.

No prefácio Em espirais Arquimedes relaciona uma história divertida sobre seus amigos em Alexandria. Ele diz-nos que ele tinha o hábito de enviar-lhes declarações de seus últimos teoremas, mas sem dar provas. Aparentemente, alguns dos matemáticos havia reivindicado os resultados como o seu próprio modo de Arquimedes diz que na última ocasião em que ele enviou-os teoremas ele incluiu dois que eram falsas [3]: -

... De modo que aqueles que afirmam descobrir tudo, mas não produzem provas do mesmo, podem ser refutados como tendo pretendia descobrir o impossível.

Excepto nos prefácios de suas obras, informações sobre Arquimedes nos vem de uma série de fontes, tais como em histórias de Plutarco, Lívio, e outros. Plutarco nos diz que Arquimedes estava relacionado com o rei Hieron II de Siracusa (ver por exemplo [3]): -

Arquimedes ... por escrito ao Rei Hiero, cujo amigo e relação próxima que ele foi ....

Novamente evidência de, pelo menos, a sua amizade com a família do rei Hieron II vem do fato de que o Sandreckoner foi dedicado a Gelon, filho do rei Hieron.

Há, de fato, um grande número de referências a Arquimedes nos escritos do tempo para que ele ganhou uma reputação em seu próprio tempo, que alguns outros matemáticos deste período alcançado. A razão para isso não era um grande interesse em novas ideias matemáticas, mas sim que Arquimedes havia inventado muitas máquinas que foram usados ​​como máquinas de guerra. Estes foram particularmente eficaz na defesa de Siracusa quando foi atacada pelos romanos sob o comando de Marcelo.

Plutarco escreve em seu trabalho sobre Marcellus, o comandante romano, sobre como foram utilizadas máquinas de guerra Arquimedes contra os romanos no cerco de 212 aC: -

... Quando Arquimedes começou a dobrar seus motores, ele imediatamente disparou contra as forças de terra todos os tipos de armas de mísseis, e imensas massas de pedra que desceu com o barulho incrível e violência; contra o qual nenhum homem poderia suportar; pois eles derrubado aqueles sobre os quais eles caíram em montes, quebrando todas as suas fileiras e arquivos. Nesse meio tempo grandes pólos lançados fora das paredes ao longo dos navios afundados e alguns por grandes pesos que desceram do alto sobre eles; outros levantaram no ar por uma mão de ferro ou bico como o bico de um guindaste e, quando tinha desenhado-los pela proa, e pô-los no fim sobre o cocô, eles mergulharam-los para o fundo do mar; ou então os navios, desenhados por motores dentro e rodopiou, foram jogados contra as rochas íngremes que estavam projetando-se sob as paredes, com grande destruição dos soldados que estavam a bordo eles. Um navio foi frequentemente levantada a uma grande altura no ar (uma coisa terrível de se ver), e foi rolou para lá e para cá, e continuou balançando, até que os marinheiros foram todos jogados para fora, quando finalmente foi jogados contra as rochas, ou deixar cair.

Arquimedes tinha sido convencido por seu amigo e relação Rei Hieron de construir tais máquinas: -

Estas máquinas [Arquimedes] tinha projetado e artificial, e não como matérias de qualquer importância, mas como meros divertimentos em geometria; em conformidade com o desejo do rei Hiero e pedido, algum tempo antes, que ele deve reduzir a praticar alguma parte de sua especulação admirável na ciência, e acomodando a verdade teórica à sensação e à utilização comum, trazê-lo mais dentro da valorização das pessoas em geral.

Talvez seja triste que máquinas de guerra foram apreciados pelas pessoas desta vez de uma forma que a matemática teórica não era, mas seria preciso observar que o mundo não é um lugar muito diferente no final do segundo milênio dC. Outras invenções de Arquimedes, como a polia composto também trouxe grande fama entre seus contemporâneos. Novamente citando Plutarco: -

[Arquimedes] tinha declarado [em uma carta ao rei Hieron] que, dado o vigor, qualquer peso pode ser movido, e até se vangloriou, somos informados, contando com a força de demonstração, que, se houvesse uma outra terra, entrando em que ele poderia remover este. Hiero sendo maravilhado com isso, e pedindo-lhe para fazer um bom este problema através da experiência real, e mostrar algum grande peso movido por um pequeno motor, ele fixados em conformidade cima de um navio de carga para fora do arsenal do rei, que não poderia ser desenhada fora do cais sem grande trabalho e muitos homens; e, carregando-a com muitos passageiros e um trem de carga completa, sentando-se a si mesmo o tempo longe, sem grande esforço, mas apenas segurando a cabeça da polia em sua mão e puxando os cordões por graus, ele desenhou o navio em uma linha reta , como forma suave e uniforme, como se tivesse sido no mar.

No entanto, Archimedes, embora ele alcançou a fama por suas invenções mecânicas, acreditava que a matemática pura era a única perseguição digna. Novamente Plutarco descreve muito bem a atitude de Arquimedes, ainda veremos mais adiante que Arquimedes fez, de facto usar alguns métodos muito práticos para descobrir os resultados de geometria pura: -

Arquimedes possuía um tão elevado espírito, tão profundo uma alma, e tais tesouros do conhecimento científico, que, embora essas invenções tinha agora ele obteve a fama de mais de sagacidade humana, ele ainda não iria se dignou a deixar para trás qualquer comentário ou escrever sobre tais assuntos; mas, repudiando como sórdido e desprezível todo o comércio de engenharia, e todo o tipo de arte que se presta a mera utilização e lucro, ele colocou toda a sua afeição e ambição nessas especulações mais puras, onde não pode haver nenhuma referência às necessidades vulgares da vida ; estudos, a superioridade do qual todos os outros é inquestionável, e em que a única dúvida pode ser se a beleza ea grandeza dos indivíduos examinados, da precisão e poder de persuasão dos métodos e meios de prova, mais merecem a nossa admiração.

Seu fascínio com a geometria é lindamente descrito por Plutarco: -

servos oftimes Arquimedes pegou contra a sua vontade para os banhos, para lavar e unge-o, e ainda estar lá, ele jamais seria desenho fora das figuras geométricas, mesmo nas próprias brasas da chaminé. E enquanto eles estavam unção dele com óleos e doces aromas, com os dedos ele desenhou linhas sobre o seu corpo nu, até agora ele estava tomado de si mesmo, e trouxe em êxtase ou transe, com o prazer que ele tinha no estudo da geometria.

As realizações de Arquimedes são bastante impressionantes. Ele é considerado pela maioria dos historiadores da matemática como um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele aperfeiçoou um método de integração que lhe permitiu encontrar áreas, volumes e áreas de superfície de muitos corpos. Chasles disse que o trabalho de Arquimedes sobre a integração (ver [7]): -

... Deu à luz o cálculo do infinito concebido e levado à perfeição pelo Kepler, Cavalieri, Fermat, Leibniz e Newton.

Arquimedes foi capaz de aplicar o método da exaustão, que é a forma inicial de integração, para obter toda uma série de resultados importantes e podemos citar alguns deles nas descrições de suas obras abaixo. Arquimedes também deu uma aproximação precisa para ¸ e mostrou que ele poderia aproximar raízes quadradas com precisão. Ele inventado um sistema para expressão de grandes números. Na mecânica Arquimedes descobriu teoremas fundamentais relativas ao centro de gravidade do figuras planas e sólidos. Seu mais famoso teorema dá o peso de um corpo imerso num líquido, chamado princípio de Arquimedes.

Os trabalhos de Arquimedes que sobreviveram são as seguintes. Em equilíbrios de avião (dois livros), Quadratura da parábola, sobre a esfera e cilindro (dois livros), em espirais, On conoids e esferóides, On corpos flutuantes (dois livros), Medição de um círculo, e O Sandreckoner. No verão de 1906, J L Heiberg, professor de filologia clássica na Universidade de Copenhague, descobriu um manuscrito do século 10 que incluiu trabalhos de Arquimedes O método. Isso fornece uma visão notável em como Arquimedes descobriu muitos de seus resultados e vamos discutir isso abaixo, uma vez que temos dado mais detalhes sobre o que está nos livros sobreviventes.

A ordem em que Arquimedes escreveu suas obras não se sabe ao certo. Temos usado a ordem cronológica sugerida por Heath em [7] na listagem essas obras acima, exceto para o método que Heath colocou imediatamente antes na esfera e cilindro. O documento [47] analisa argumentos para uma ordem cronológica diferente das obras de Arquimedes.

O tratado Sobre equilíbrios plano estabelece os princípios fundamentais da mecânica, utilizando os métodos de geometria. Arquimedes descobriu teoremas fundamentais relativas ao centro de gravidade do figuras planas e estes são apresentados neste trabalho. Em particular, ele encontra, no livro 1, o centro de gravidade de um paralelogramo, um triângulo e um trapézio. Livro dois é inteiramente dedicado a encontrar o centro de gravidade de um segmento de uma parábola. No quadratura da parábola Arquimedes encontra a área de um segmento de uma parábola cortado por qualquer acorde.

No primeiro livro de Sobre a esfera eo cilindro Arquimedes mostra que a superfície de uma esfera é quatro vezes maior do que um grande círculo, ele encontra a área de qualquer segmento de uma esfera, ele mostra que o volume de uma esfera é dois terços o volume de um cilindro circunscrito, e que a superfície de uma esfera é dois terços da superfície de um cilindro circunscrito incluindo as suas bases. Uma boa discussão de como Arquimedes pode ter sido levado a alguns desses resultados usando infinitesimais é dada em [14]. No segundo livro deste trabalho resultado mais importante de Arquimedes é mostrar como cortar uma dada esfera por um plano de modo que a razão entre os volumes dos dois segmentos tem uma proporção prescrita.

Em No espirais de Arquimedes define uma espiral, que confere propriedades fundamentais que ligam o comprimento do vector de raio com os ângulos através do qual se tem girado. Ele dá resultados sobre tangentes à espiral, bem como encontrar a área de porções da espiral. No trabalho Em conoids e esferóides Arquimedes examina parabolóides da revolução, hiperbolóides da revolução e esferóides obtidos pela rotação de uma elipse, quer sobre o seu eixo principal ou sobre o seu eixo menor. O principal objetivo do trabalho é investigar o volume de segmentos destas figuras tridimensionais. Alguns afirmam que existe uma falta de rigor em alguns dos resultados deste trabalho, mas a discussão interessante em [43] atribui isso a uma reconstrução moderna.

Em corpos flutuantes é um trabalho em que Arquimedes estabelece os princípios básicos da hidrostática. Seu mais famoso teorema que dá o peso de um corpo imerso em um líquido, chamado de princípio de Arquimedes, está contido neste trabalho. Ele também estudou a estabilidade de vários corpos flutuantes de diferentes formas e diferentes gravidades específicas. Em Medição do círculo Arquimedes mostra que o valor exato do π situa-se entre os valores de 310/71 e 31/7. Este obteve circunscrevendo e inscrevendo um círculo com polígonos regulares com 96 lados.

O Sandreckoner é um trabalho notável, em que Arquimedes propõe um sistema numérico capaz de expressar números até 8 × 1063 em notação moderna. Ele argumenta neste trabalho que este número é grande o suficiente para contar o número de grãos de areia que podem ser equipados para o universo. Há também importantes observações históricas neste trabalho, por Archimedes tem que dar as dimensões do universo para ser capaz de contar o número de grãos de areia que poderiam conter. Ele afirma que Aristarco propôs um sistema com o sol no centro e os planetas, incluindo a Terra, que gira em torno dele. Ao citar resultados sobre as dimensões afirma resultados devido a Eudoxo, Fídias (seu pai) e Aristarco. Existem outras fontes que mencionam o trabalho de Arquimedes sobre distâncias dos corpos celestes. Por exemplo, em [59] Osborne reconstrói e discute: -

... Uma teoria das distâncias dos corpos celestes atribuída a Arquimedes, mas o estado corrupto dos numerais no manuscrito sobrevivente único [devido à Hipólito de Roma, cerca de 220 AD] significa que o material é difícil de segurar.

No método, Arquimedes descrito o modo pelo qual ele descobriu muitos dos seus resultados geométricos (ver [7]): -

... certas coisas primeira tornou-se claro para mim por um método mecânico, embora tivessem de ser provado pela geometria depois, porque a sua investigação por parte do referido método não forneceu uma prova real. Mas é claro que é mais fácil, quando tivermos adquirido anteriormente, pelo método, algum conhecimento das questões, para fornecer a prova do que está a encontrá-lo sem qualquer conhecimento anterior.

Talvez o brilho de resultados geométricas de Arquimedes é melhor resumido por Plutarco, que escreve: -

Não é possível encontrar nas perguntas toda a geometria mais difíceis e complexas, ou explicações mais simples e lúcido. Alguns atribuem isso ao seu gênio natural; enquanto outros pensam que incrível esforço e do trabalho produzido estes, ao que tudo indica, fácil e resultados espontâneo. Nenhuma quantidade de investigação de vocês teria sucesso em alcançar a prova e, no entanto, uma vez que visto, você acredita imediatamente que você teria descoberto; por tão suave e tão rápido um caminho que leva à conclusão necessária.

Heath acrescenta sua opinião sobre a qualidade do trabalho de Arquimedes [7]: -

Os tratados são, sem exceção, monumentos de exposição matemática; a revelação gradual do plano de ataque, a ordenação magistral das proposições, a eliminação de popa de tudo não imediatamente relevante para o efeito, o acabamento do conjunto, são tão impressionantes em sua perfeição como para criar um sentimento semelhante ao temor no mente do leitor.

Há referências a outras obras de Arquimedes, que agora estão perdidos. Pappus refere-se a um trabalho de Arquimedes sobre poliedros semi-regular, o próprio Arquimedes refere-se a um trabalho sobre o sistema numérico que propôs na Sandreckoner, Pappus menciona um tratado Sobre equilíbrios e alavancas, e Theon menciona um tratado de Arquimedes sobre espelhos. Evidências para trabalhos ainda mais perdidos são discutidos em [67], mas a evidência não é totalmente convincente.

Arquimedes foi morto em 212 aC durante a captura de Siracusa pelos romanos na Segunda Guerra Púnica, depois de todos os seus esforços para manter os romanos na baía com suas máquinas de guerra tinha falhado. Plutarco relata três versões da história de sua morte, que tinha descido com ele. A primeira versão: -

Arquimedes ... foi ..., como ele teria sorte, decidido a trabalhar fora algum problema por um diagrama, e tendo fixado sua mente tanto os olhos sobre o assunto de sua especulação, ele nunca percebeu a incursão dos romanos, nem que a cidade foi tomada. Neste transporte de estudo e contemplação, um soldado, de forma inesperada vindo até ele, ordenou-lhe a seguir para Marcelo; que ele se recusou a fazer antes ele tinha trabalhado para fora seu problema a uma demonstração, o soldado, furioso, desembainhou a espada e correu-lo passar.

A segunda versão: -

... Um soldado romano, correndo em cima dele com uma espada desembainhada, ofereceu-se para matá-lo; e que Arquimedes, olhando para trás, sinceramente suplicou-lhe para segurar sua mão um pouco, que ele não pode deixar que ele foi, então, no trabalho em cima inconclusivo e imperfeito; mas o soldado, nada se movia por sua súplica, instantaneamente matou.

Finalmente, a terceira versão que Plutarco tinha ouvido: -

... Como Arquimedes estava carregando a instrumentos Marcellus matemáticos, mostradores, esferas e ângulos, através da qual a magnitude do sol pode ser medido à vista, alguns soldados vê-lo, e pensar que ele levou o ouro em um navio, o matou .

Arquimedes considerou suas realizações mais significativas foram as que dizem respeito um cilindro circunscrevendo uma esfera, e ele pediu uma representação deste juntamente com o seu resultado na relação dos dois, a ser inscrita em sua tumba. Cícero estava na Sicília, em 75 aC, e ele escreve como ele procurou Archimedes túmulo (ver por exemplo [1]): -

... E achei fechado todo e coberto com amoras e matas; para me lembrei certas linhas cômicas inscritos, como eu tinha ouvido, sobre o seu túmulo, que afirmou que uma esfera, juntamente com um cilindro tinha sido colocado em cima de seu túmulo. Assim, depois de tomar uma boa olhada ao redor ..., eu notei uma pequena coluna decorrente um pouco acima dos arbustos, onde havia uma figura de uma esfera e um cilindro .... Os escravos eram enviados com foices ... e quando uma passagem para o local foi inaugurado nos aproximávamos do pedestal em frente de nós; o epigrama foi rastreado com cerca de metade das linhas legíveis, como a última parte foi vestida afastado.

É talvez surpreendente que os trabalhos matemáticos de Arquimedes foram relativamente pouco conhecida imediatamente após a sua morte. Como Clagett escreve em [1]: -

Ao contrário dos Elementos de Euclides, as obras de Arquimedes não foram amplamente conhecido na antiguidade. ... É verdade que ... obras individuais de Arquimedes foram, obviamente, estudou em Alexandria, desde Arquimedes foi muitas vezes citado por três matemáticos eminentes de Alexandria: Heron, Pappus e Theon.

Só depois Eutocius trouxe edições de algumas das obras de Arquimedes, com comentários, no sexto século dC foram tratados notáveis ​​para se tornar mais conhecido. Finalmente, vale a pena observar que o teste usado hoje para determinar o quão próximo do texto original as várias versões de seus tratados de Arquimedes são, é para determinar se eles mantiveram dialeto Dorian Arquimedes.


Texto adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

janeiro 1999

MacTutor História da Matemática

DIVIRTA-SE (83)

Multiplicando minha idade por 6 e depois subtraindo também 6, produzo o mesmo valor que primeiro subtraindo 7 da minha idade e depois multiplicando o resultado por 7 .
Qual é a minha idade???

Jogos matemáticos - 83

ARITHMETIC GAME

Coloque os números no lugar certo para que as espressões se tornem verdadeiras.

ARITHMETIC GAME

FRACTAIS (23)

Então... se você nunca imaginou encontrar fractais fora dos computadores, aqui está um bem real.

É o brócolis. Reconhece?

O Grilo cantante

Continua a nossa "viagem" pela álgebra...

*ARISTARCO

Aristarco de Samos

Data de Nascimento: cerca de 310 aC na Grécia
Morreu em: cerca de 230 aC na Grécia

O Aristarco de Samos não parece ter tido a atenção dos historiadores da matemática que ele merecia até tempos recentes. Por exemplo Heath começa Volume II de sua história da matemática grega com as palavras [5]: -

Historiadores da matemática têm, como regra geral, dado pouca atenção a Aristarco de Samos. A razão pela qual há dúvida de que ele era um astrônomo, e, portanto, poderia se supor que o seu trabalho não teria interesse suficiente para o matemático. Os gregos conheciam melhor; eles chamavam de "Aristarco o matemático '.

No entanto, o fato de que ele era conhecido como um astrónomo em vez de um matemático é bastante contrariado por reivindicação de Neugebauer que o seu trabalho [6]: -

... É um exercício puramente matemático que tem ... pouco a ver com astronomia prática ...

Zhitomirskii, em [14], afirma: -

Aristarco de Samos é um precursor pouco conhecida, mas muitas vezes citado, de Copérnico. Todas as informações sobre ele deriva de um punhado de referências esparsas em autores clássicos, além de um breve tratado de sua que não menciona o heliocentrismo. Consequentemente historiadores muitas vezes mencioná-lo, cite um ou dois fatos e passar para outro assunto - depois de fornecer algumas palavras de explicação que revelam muito sobre tendências dos historiadores.

O documento [14], em seguida, faz uma tentativa séria para resolver o que o autor considera ser as deficiências de outros historiadores. Vamos tentar neste artigo para fazer mais do que 'mencionar um ou dois fatos "e para indicar a dimensão e originalidade das realizações de Aristarco e também seu papel no desenvolvimento da astronomia matemática.

Aristarco foi certamente tanto um matemático e astrónomo e ele é mais famoso como o primeiro a propor um universo centrado no sol. Ele também é famoso por sua tentativa pioneira de determinar os tamanhos e distâncias do sol e da lua. Vamos olhar para estas duas conquistas abaixo.

Aristarco foi aluno de Strato de Lampsacus, que foi chefe do Liceu de Aristóteles. No entanto, não é o pensamento que Aristarco estudou com Strato em Atenas, mas sim que ele estudou com ele em Alexandria. Strato tornou-se chefe do Liceu de Alexandria em 287 aC e acredita-se que Aristarco estudou com ele lá iniciar seus estudos pouco depois dessa data.

Aristarco é mencionado por Vitrúvio (1 º século aC), que era famoso como arquiteto e engenheiro romano. Vitruvius foi o autor do tratado importante De architectura (On Architecture) e neste trabalho ele enumera homens que foram informados em todos os ramos da ciência (ver, por exemplo [3], [4] ou [5]): -

Homens desse tipo são raros, homens, como foram, em tempos passados, Aristarco de Samos, Filolau e Arquitas de Tarento, Apolônio de Perga, Eratóstenes de Cirene, Arquimedes e Scopinas de Syracuse, que deixou para a posteridade muitos aparelhos mecânicos e gnomónico que eles inventaram e explicou sobre os princípios matemáticos.

Claro que há a questão imediata de que Aristarco inventada, e Vitrúvio, explica que ele inventou um relógio de sol na forma de uma bacia hemisférica, com um ponteiro para lançar sombras colocado no meio da tigela.

Há pouca evidência existente a respeito da origem da crença de Aristarco em um sistema heliocêntrico. Não conhecemos nenhuma hipótese anterior deste tipo, mas na verdade a teoria não foi aceita pelos gregos de forma aparentemente nunca teve popularidade. Sabemos apenas da teoria de Aristarco por causa de um mapa recapitulativo feito em Archimedes 'The Sand-Reckoner e uma referência semelhante por Plutarco. Archimedes escreveu (ver, por exemplo, [3], [4] ou [5], ou ver [1] para um orçamento mais curto): -

Você rei Gelon estão cientes do 'universo' é o nome dado pela maioria dos astrônomos para a esfera cujo centro é o centro da terra, ao passo que o seu raio é igual à linha recta entre o centro do sol e do centro do terra. Esta é a conta comum, como você já ouviu falar dos astrônomos. Mas Aristarco trouxe um livro composto por determinadas hipóteses, em que ele aparece, como consequência das hipóteses, que o universo é muitas vezes maior do que o "universo" que acabamos de mencionar. Suas hipóteses são que as estrelas fixas eo sol permanecem imóveis, que a Terra gira em torno do sol sobre a circunferência de um círculo, o sol deitado no meio da órbita, e que a esfera das estrelas fixas, situada sobre o mesmo centro como o sol, é tão grande que o círculo em que ele supõe que a terra gira suporta tal proporção com a distância das estrelas fixas como o centro dos ursos esfera à sua superfície.

Archimedes ter relatado os pontos de vista de Aristarco, criticou os pontos de vista como dando proporções matematicamente sem sentido. Na verdade, a maneira que Aristarco expressa suas proporções é, segundo Heath, similar a outras expressões que ocorrem em escritos gregos e indicou que Aristarco considerou que o raio da esfera das estrelas fixas era infinitamente grande em comparação com a órbita da Terra. Claro, Aristarco tinha de fazer alguma tal assunção, por outra forma efeitos de paralaxe seria visível.

Plutarco nos dá um pouco de informação extra, pois ele relata que Aristarco seguido Heraclides de Pontus em acreditar que a rotação diária aparente das estrelas fixas foi devido à rotação da Terra sobre seu eixo.

O trabalho único sobrevivente de Aristarco, Sobre os Tamanhos e Distâncias do Sol e da Lua, não se baseia na teoria de sol centrado e, infelizmente, seu trabalho sobre a teoria sol centrado referidos por Arquimedes foi perdida. Sobre os Tamanhos e Distâncias do Sol e da Lua fornece os detalhes de sua notável argumento geométrico, com base na observação, na qual ele determinou que o Sol era cerca de 20 vezes mais distante da Terra que a Lua, e 20 vezes o tamanho da Lua. Ambas as estimativas eram de uma ordem de magnitude muito pequena, mas a culpa estava na falta de instrumentos precisos de Aristarco em vez de em seu método de raciocínio correta.


O diagrama mostra um argumento usado por Aristarco. Ele sabia que a lua brilha pela luz solar refletida, ele argumentou, se uma medida do ângulo entre a lua eo sol, quando a lua é exatamente a metade iluminada, em seguida, pode-se calcular a proporção de suas distâncias. Aristarchus estimado que o ângulo no momento da meia iluminação foi de 87 ° para que a razão das distâncias é pecado 3 °. Claro, nós a traduzimos isso em notação moderna por Aristarco não usam graus, nem tinha a trigonometria foi inventado para que ele não tinha a função seno à sua disposição. No entanto, este está em vigor o cálculo que ele fez, correta, em princípio, ainda assim, quase impossivelmente difíceis de observar, na prática, uma vez que a determinação do momento em que metade iluminação da lua ocorre só pode ser encontrada muito imprecisa.

Aristarco foi então confrontado com o cálculo de uma aproximação para o que está em nossas notação pecado 3 °. Ele obteve a desigualdade

1/18> sin 3 °> 1/20

e deduziu que o sol estava entre 18 a 20 vezes tão distantes como a lua. Na verdade, no momento da meia iluminação do ângulo entre a lua eo sol é realmente 89 ° 50 'e o sol é realmente cerca de 400 vezes mais distante do que a lua.

Estranhamente, Aristarco usa os valores para o ângulo subentendido pelo sol ea lua para ser 2 °. Este valor é bastante imprecisa, uma vez que é quatro vezes demasiado grande. Ele usa corretamente a evidência de eclipses afirmar que o sol ea lua subtende o mesmo ângulo. No entanto, Archimedes cita um valor de 1/2 ° para o ângulo subentendido pelo sol e atribui esse valor para Aristarco. Só podemos supor que Aristarco escreveu Sobre os Tamanhos e Distâncias do Sol e da Lua no início de sua carreira, em seguida, mais tarde, ele adotou a sua hipótese de um universo sol centrado e calculado um valor muito mais preciso do ângulo subentendido pelo sol. Um tem que assumir Aristarco foi capaz de desenvolver instrumentos para fazer medições astronômicas precisas mais tarde em sua carreira.

Neugebauer argumenta em [6] que Aristarco não estava interessada em dados astronômicos precisos (desde que ele poderia facilmente ter feito muito melhor se ele tivesse se interessado). Em vez Neugebauer sugere, Aristarco estava interessado apenas na teoria matemática atrás de encontrar as distâncias e diâmetros. Ele estava mostrando que tais medidas poderiam ser tomadas e, desde que ele consegue demonstrar isso, sua obra é de grande importância. Como Neugebauer escreve em [6]: -

... O poder da abordagem matemática para problemas astronômicos foi drasticamente demonstrado, no mesmo sentido que Eudoxo, um século antes, construídos modelos cinematográfica que poderiam estar relacionados com os movimentos planetários sem resolver um único problema específico.

Há uma ou duas outras referências à obra de Aristarco, que têm sido recentemente investigados. Por exemplo, em [7], os autores interpretar: -

... Uma passagem difícil em um comentário anônimo escrito em grego, durante o 2o século dC em 20 livros de Odisséia de Homero. ... O autor [anonymous] cita Aristarco de Samos citando Tales e Heráclito, a fim de apoiar sua tese [de] eclipses solares ... [Suas] tese sobre os tempos em que os eclipses solares podem ocorrer baseia-se numa análise do grego e egípcio convenções de calendário, em vez de em um apelo à observação de eclipses solares.

Texto adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

abril 1999

MacTutor História da Matemática

82 - Matemática - Aula 8 - Álgebra: uma introdução - Parte 2

DIVIRTA-SE (82)

No último fim de semana, o professor Marcus esteve almoçando em um restaurante self service.

                Ao passar pela balança e pesar seu prato, observou que, a quantia que deveria pagar não era um número inteiro de reais. Além disso, o número que exprimia os centavos era exatamente o dobro daquele que exprimia os reais sendo que, o número que exprimia os centavos, era precisamente o valor cobrado pelo restaurante por quilograma consumido.

                Quantos gramas de alimento o professor Marcus consumiu nesta refeição?

Jogos matemáticos - 82

CUBOX

Conte os cubos empilhados uns sobre os outros.
Mas, cuidado! Não basta contar. Procure ver por trás das pilhas e no menor tempo possível!
CUBOX

FRACTAIS (22)

O mágico das Arábias

Que tal aprender um pouco de álgebra?
Veja como neste interessante vídeo.

*EUDEMO

Eudemo de Rodes

Data de Nascimento: cerca de 350 aC, em Rhodes, Grécia
Morreu em: cerca de 290 aC

Nós certamente deve creditar Eudemus de Rhodes por suas realizações neste arquivo desde Eudemus parece ter sido o primeiro grande historiador da matemática. Simplício nos informa que uma biografia de Eudemus foi escrito por Damas, que é desconhecida, mas para esta referência, mas, infelizmente, nenhum vestígio desta biografia foi encontrado. Como aspecto emocionante da história da matemática é que a descoberta deste texto (e outros textos perdidos) no futuro, embora altamente improvável, permanece sempre uma possibilidade.

Eudemus nasceu em Rhodes e sabemos que ele tinha um irmão chamado Boethus. De seus pais e início da vida não sabemos nada, mas sabemos que ele estudou com Aristóteles. Aristóteles passou um tempo em Atenas, Assos e em outros lugares e certamente seria bom para entender quando Eudemus estudou com ele. Infelizmente não há nenhum registro seja de tempo ou de lugar que vamos responder a estas perguntas com qualquer grau de certeza. W Jaeger, no entanto, em sua discussão de Aristóteles [4] (veja também [5]) argumentou fortemente que Eudemus estudou com Aristóteles durante seu período em Assos.

Aristóteles tinha dois seguidores, Eudemus e Theophrastus de Lesbos, que eram conhecidos como os "companheiros". Devemos deixar claro, no entanto, que não havia outro filósofo chamado Eudemus associado com Aristóteles, a saber Eudemus de Chipre e foi este outro Eudemus após os quais Aristóteles nomeou seu famoso texto Eudemus. Quando Aristóteles percebeu que tinha apenas um curto tempo de vida que ele escolheu o seu sucessor entre seus dois companheiros, Eudemus e Theophrastus. Ele escolheu Theophrastus e parece que Eudemus, embora não seja infeliz com a decisão, deixou Atenas e montou sua própria escola, provavelmente de volta em seu Rhodes nativa.

Dizer que Eudemus não era um matemático original pode ser justo, mas apenas um pouco dura, por que sabemos através de Proclus que ele escreveu um trabalho matemático original chamada do ângulo. Este trabalho é perdido assim que nós somos incapazes de julgar a sua importância mas parece provável que tenha sido consideravelmente menos importantes do que suas obras sobre a história da matemática.

Sabemos de três obras sobre a história da matemática por Eudemus, nomeadamente História da Aritmética (dois ou mais livros), História da Geometria (duas ou mais livros), e História da Astronomia (dois ou mais livros).

A História da aritmética é conhecido por nós a partir de uma única referência a ele na escrita de Porfírio. Esta referência nos dizem que o primeiro livro lidou com a ideia de Pitágoras de número e suas inter-relações com a música.

A História da Geometria é a mais importante das três histórias matemáticas de Eudemus. Embora o trabalho não tenha sobrevivido, ele estava disponível para muitos escritores posteriores que fizeram uso pesado dele. Temos sorte, pois, que a maior parte do conhecimento que Eudemus tinha da história da matemática grega antes de Euclides (que tinha que ser antes de Euclid dadas as datas em que Eudemus estava escrevendo) chegou a nós, apesar do fato de que ele livro não tem. Em muitos dos artigos nesta arquivo citamos a partir de contas com base na Eudemus. Para ilustrar com um exemplo, a obra de Hipócrates sobre a quadratura do lunes só é conhecido por nós através da História da geometria de Eudemo.

Não está claro exatamente quando a História da geometria foi perdido. Paul Tannery (ver por exemplo [7]) acreditava que estava perdido antes do tempo de Pappus enquanto outros, como J L Heiberg argumentaram que Pappus e Eutocius ambos escreveram com uma cópia aberta da História da Geometria do Eudemus na frente deles.

A História da Astronomia novamente foi muito utilizada por escritores posteriores e exatamente da mesma forma que seu texto geometria, muita informação que sobreviveu nos trabalhos dos outros, apesar da perda do texto original. Em particular previsão eclipse Thales foi descrita no trabalho de Eudemus e acreditamos que o sistema de esferas concêntricas de Eudoxo foi descrita pela primeira vez lá e depois transmitida a nós através da escrita de Simplício, no segundo século dC. Outros tópicos neste livro incluiu [1]: -

... O ciclo do grande ano, após o que todos os corpos celestes são encontradas nas mesmas posições relativas; a realização, por Anaximandro que a Terra é um corpo celeste que se deslocam sobre o meio do universo; a descoberta de Anaxímenes que a lua reflete a luz do sol e a explicação dos eclipses lunares; e a desigualdade dos tempos entre os solstícios e os equinócios.

Nós descrevemos acima das importantes contribuições de Eudemus para a matemática. No entanto, ele é ainda melhor conhecido por sua contribuição para salvar o trabalho de Aristóteles para a posteridade. Mas para Eudemus nós não poderia ter tido acesso às obras de Aristóteles de que ele usou suas próprias notas de aula, notas de aula de Aristóteles e lembranças da memória para produzir volumes de ajuste obra de Aristóteles para publicação.

Um trabalho adicional é definitivamente devido a Eudemo, ou seja, uma obra sobre Física que era um tratado em quatro livros na sequência do trabalho por Aristóteles do mesmo título bem de perto. Simplício tinha uma cópia deste trabalho que ele encontrou muito útil na compreensão de Física de Aristóteles e talvez isso foi precisamente o papel do Eudemus destinado ao trabalho. Outro trabalho por Eudemus era na lógica, na verdade, ele pode muito bem ter escrito dois livros de lógica e ele também escreveu sobre o discurso.

Algumas obras de Eudemus são mais difíceis de se identificar com Eudemus de Rhodes e pode ter sido escrito por outros com o mesmo nome. Certamente, há muitas referências a uma obra em animais escritos por um certo Eudemus e uma das referências certamente se refere a Eudemo de Rodes. Desde que o trabalho parece ter sido uma coleção de fábulas sobre animais o assunto parece muito distantes dos trabalhos sérios, científicas e acadêmicas que ele certamente escreveu. Talvez o mais provável é um trabalho sobre o poeta Lindos. Desde Lindos tinha ligações com Rhodes a ligação torna esta uma possibilidade mais provável.

Novamente, há uma referência que parece implicar que Eudemus escreveu uma história da teologia e novamente este parece altamente provável. Muitos autores referem-se a Eudemus como o "Eudemus piedosa", devido à sua crença na "contemplação de Deus". Este, porém, pode ser devido a edição por um cristão mais tarde que teria visto que claramente Eudemus significava "contemplação de Deus" e não o que é muito mais provável que ele escreveu "contemplação da Mente" e "corrigido" o texto em conformidade!

Texto adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

abril 1999

MacTutor História da Matemática

81 - Matemática - Aula 7 - Álgebra: uma introdução - Parte 1

DIVIRTA-SE (81)

Resolva o seguinte (D e E são dois dígitos diferentes):

Jogos matemáticos - 81

MATCHING GAME

Neste jogo da memória, metade dos cartões têm frações e a outra metade porcentagens.
Encontre os pares e complete o jogo o mais rápido que puder...
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FRACTAIS (21)

Os caçadores de sons de Fibonacci

A sequência de Fibonacci é um dos temas matemáticos mais interessantes.
Se você ainda não a conhece, eis aqui uma ótima oportunidade.

AUTÓLICO

Autólico de Pitane

Data de Nascimento: cerca de 360 ​​aC na Pitane, Aeolis, Ásia Menor (atual Turquia)
Morreu em: cerca de 290 aC

Nós sabemos algumas informações sobre a vida de Autolycus de Pitane, mas não é realmente suficiente para namorá-lo com precisão. Ele era um professor de Arcesilaus que nasceu em 315 aC por isso Autolycus deve ter vivido até depois de 300 aC. Supõe-se geralmente que ele era mais velho do que Euclides. Como Heath escreve em [3]: -

Que ele escreveu mais cedo do que Euclides é claro pelo fato de que Euclides ... faz uso de teoremas que aparecem nas Autolycus, embora, como é habitual nestes casos, não dando qualquer indicação de sua fonte.

No entanto, antes de aceitar o argumento "claro" de Heath, é razoável para colocar um contra-argumento da Neugebauer [4]: ​​-

O argumento geralmente aceites em favor da prioridade do Autolycus é singularmente ingênua. Teorema 2 de Phaenomena de Euclides é composta por quatro proposições com provas para apenas três deles enquanto a falta é substituída pela observação "que este é o caso foi mostrado em outros lugares"; na verdade, teorema e prova são encontrados como Teorema 10 em de Autolycus Rotating Sphere '. Que um comentário deste tipo deve ser genuíno em qualquer tratado matemático grego, euclidiana ou não, parece-me totalmente implausível; Eu diria que o óbvio, ou seja, que uma Scholion substituído, talvez em uma cópia danificado, a primeira das quatro provas por uma simples referência ao teoremas geralmente conhecidos. Na verdade eu não vejo nenhuma razão para que Euclid (presumivelmente em Alexandria) e Autolycus (presumivelmente em Atenas) não deve ter escrito de forma independente, e talvez até mesmo simultaneamente, na teoria matemática de fenômenos astronômicos.

Huxley, escrevendo em [1], concorda com Heath, eo papel [4] ainda tem o título Autólico de Pitane, predecessor de Euclides. O argumento prioridade não é certamente uma importância para a interdependência de Euclides e Autolycus sobre o outro é significativa desde Autolycus escreve suas proposições exatamente o mesmo estilo geral, como Euclides. Isto significa que um teorema na obra de Autolycus tem primeiro uma declaração geral, em seguida, uma construção relacionada com uma figura em particular com os pontos da figura indicada por letras, em seguida vem a demonstração do teorema e, finalmente, a conclusão relativa à declaração geral é, por vezes, desenhado. Apesar dos argumentos acima, ainda é preciso tirar a mesma conclusão qualquer tratado foi escrito em primeiro lugar, ou seja, que este estilo de exposição matemática aceito hoje como tão característico de Euclides, certamente não foi inventado por ele. Apesar do estilo que está sendo usado por Autolycus, ninguém lhe atribui inventando isso também.

Nós foram tomadas por uma estrada fascinante pelas comparações com Euclides, mas devemos voltar a dar o único outro detalhe da vida de Autolycus que é relatado por Diógenes Laércio, quando ele relata que Arcesilaus foi acompanhado por seu professor Autolycus em uma viagem para Sardis .

Outro fato importante sobre Autolycus é que dois de seus livros sobreviveram no original grego e acreditamos que eles são os primeiros dois matemática trabalha para ter sobrevivido. Destes livros, Na esfera que se move é um trabalho sobre a geometria da esfera que é o mesmo que ser um texto astronomia matemática. O segundo trabalho On Risings and Settings é um livro mais sobre astronomia observacional.

Teodósio, 200 anos depois, escreveu Sphaerics, um livro semelhante sobre a geometria da esfera, também escrito para fornecer uma base matemática para a astronomia. Pensa-se que o trabalho de da Sphaerics Teodósio e Autolycus Na esfera que se move são baseados no mesmo livro de pré-euclidiana que agora está perdido. Conjectura-se, em vez pouca evidência seria preciso dizer, que Eudoxus escreveu este texto anterior. Não parece haver nenhuma maneira em que a especulação sobre este ponto pode nunca ser resolvido.

Que Autolycus relys pesadamente em Eudoxus por sua visão da astronomia não está em dúvida. Ele é um forte defensor da teoria das esferas homocêntricos que consistia em uma série de esferas rotativas, cada esfera que gira em torno de um eixo que passa pelo centro da Terra do Eudoxus. Esta teoria teve uma dificuldade que tinha sido rapidamente percebeu, ou seja, que Vênus e Marte varia em brilho e não havia nenhum mecanismo para este na teoria de Eudoxus. Novamente eclipses do sol eram, por vezes, no total, por vezes, anular onde a lua parece menor do que o sol e um anel do sol é visível à direita em volta da lua. Apesar das tentativas de Autolycus para explicar estas observações dentro da teoria do Eudoxus, ele não tinha verdadeira resposta para estes problemas.

Em Risings and Settings é um trabalho que consiste em dois livros. interessante artigo de Schmidt [7] foi escrito para mostrar que, de fato, estes não são duas partes de uma única obra de dois volumes, mas sim que eles eram as duas versões da mesma peça de trabalho. O segundo livro é realmente uma edição revista e ampliada do primeiro, que contém um pouco de material novo. É também um livro melhor construída e é interessante ver como o livro de Autolycus desenvolveu e melhorou entre as duas edições.

Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

abril 1999

MacTutor História da Matemática

80 - Matemática - Aula 6 - Geometria: medidas, áreas e volumes - Parte 2

DIVIRTA-SE (80)

Enigma das cinco cartas

Estou pensando em uma dessas cinco cartas:

Você tem que tentar descobrir qual eu estou pensando. Aqui estão algumas dicas:

i) O valor da minha carta é um número primo.

ii) Os valores dos meus dois vizinhos somados formam um múltiplo de 3.

iii) A minha carta está ao lado de uma carta que está ao lado do 2 copas.

Jogos matemáticos - 80

DIVIDE

O objetivo deste jogo é dividir cada figura em um número específico de partes com um número limitado de cortes.

DIVIDE

FRACTAIS (20)

Oferenda musical de Bach

Um dos campos de estudo da Matemática é a simetria mas, você sabia que a simetria está presente na Música por exemplo?
Assista o vídeo e descubra mais sobre isso.

*ARISTEU, o VELHO

Data de Nascimento: cerca de 370 aC na Grécia
Morreu em: cerca de 300 aC

Aristeu, o Velho foi provavelmente mais velho do que, mas ainda um contemporâneo de Euclides. Nós sabemos praticamente nada de sua vida, exceto que Pappus refere-se a ele como Aristeu, o Velho que presumivelmente significa que Pappus estava ciente do outro matemático mais tarde também chamado Aristeu. Não temos nenhum registro de tal pessoa, mas nós salientar abaixo uma possível confusão que pode resultar da existência de dois matemáticos chamados Aristeu.

Pappus deu grande crédito Aristeu para um trabalho intitulado Cinco Livros relativos Loci sólido que foi usada por Pappus, mas agora foi perdido. 'Loci sólido "é o nome grego para cónicas por isso é bastante confuso que não há outra referência por um escritor mais tarde para uma obra de Aristeu chamado Cinco Livros relativas seções cônicas. No entanto, estas duas obras são pensados ​​agora para ser o mesmo.

Pappus descreve o trabalho como: -

... Cinco livros de Loci Sólidos conectado com as cónicas.

e também afirma (se este não é um último aditamento ao texto) que Euclides compilados resultados elementares sobre cónicas em seus Conics tratadistas enquanto os resultados de Aristeu, muito mais profundo, originais e especializados, não foram incluídos por Euclides que preferiu deixá-los em seus originais apresentação devido a Aristeu.

Heath faz um palpite sobre os possíveis conteúdos do sólido Loci e escreve [3]: -

Uma grande parte das propriedades padrão de cônicas sendo de admitir declarou na forma de teoremas do locus ... Mas pode-se supor que o trabalho de Aristeu não era meramente um conjunto de proposições ordinárias transformadas desta forma; ele iria lidar com novos teoremas do locus não implicadas nas definições e propriedades das cónicas fundamentais, como ... os teoremas da três e lócus de quatro linhas. Mas um (para nós) propriedade comum, a propriedade foco diretriz, foi, como parece-me, com toda a probabilidade incluído.

Heath refere-se a teoremas do três e lócus de quatro linhas na citação acima e nós devemos explicar o que estes são. Para o locus três linhas nos é dado um ponto P e três linhas direcionadas a, b e c desenhado para atender em ângulos dadas, três linhas retas fixos. Em seguida, o locus de P tal que ac: b2 é um dado constante é uma cônica. O locus de quatro linhas é semelhante. Estamos dado um ponto P e quatro linhas dirigido a, b, c, ed desenhada para atender em ângulos dadas, quatro linhas retas fixos. Em seguida, o locus de P tal que ac: bd é um dado constante é uma cônica.

Há uma referência a Aristeu nas obras de Hypsicles onde ele se refere a Aristeu como o autor de um livro sobre a comparação de cinco sólidos regulares. Heath acredita que, embora não seja certo se este é Aristeu, o Velho, os resultados descritos tornam bastante provável que ele é. Hypsicles diz-nos que, neste trabalho, Aristeu provou que [3]: -

... Os mesmos circunscreve círculo ambos o pentágono do dodecaedro e do triângulo do icosaedro inscritos na mesma esfera.

opinião de Heath que o Aristeu referido por Hypsicles este é Aristeu, o Velho tem sido contestada por alguns historiadores, e há uma possibilidade de que Hypsicles refere-se a Aristeu, o filho, tornando senso de comentários de Pappus que se refere o primeiro parágrafo.

O trabalho de ambos Aristeu e Euclides sobre cônicas foi, quase 200 anos mais tarde, desenvolvido por Apolônio. Esta obra de Apolônio fez a teoria das cônicas desenvolvida por Aristeu e Euclides obsoleta.

Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

abril 1999

MacTutor História da Matemática

79 - Matemática - Aula 5 - Geometria: medidas, áreas e volumes - Parte 1

Jogos matemáticos - 79

2048

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2048

FRACTAIS (19)

Luthier de Proporções

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*CALIPO

Calipo de Cyzicus

Data de Nascimento: cerca de 370 aC na Cyzicus, Ásia Menor (atual Turquia)
Morreu em: cerca de 310 aC

As datas indicadas para o nascimento e morte de Calipo de Cyzicus são suposições, mas ele é conhecido por ter trabalhado com Aristóteles em Atenas a partir de 330 aC.

Sabemos que Calipo era um estudante na Escola de Eudoxus. Sabemos também que ele fez suas observações astronômicas nas margens do Helesponto, que podem ser deduzidas a partir das próprias observações. Simplício escreve em seu comentário sobre De caelo por Aristóteles (ver por exemplo [1]): -

Calipo de Cyzicus, tendo estudado com Polemarco, aluno de Eudoxus, seguindo-o a Atenas habitou com Aristóteles, corrigindo e completando, com a ajuda de Aristóteles, as descobertas de Eudoxo.

Calipo feitas determinações precisas de os comprimentos das estações e construiu um ciclo de 76 anos, compreendendo 940 meses para harmonizar os anos solares e lunares que foi aprovada em 330 aC e utilizados por todos os astrônomos posteriores. Este calendário de Calipo é examinada em detalhe por van der Waerden em [6]. Ptolomeu deu-nos uma data precisa para o início deste ciclo, em 330 aC, no Almagesto dizendo que no ano 50 do primeiro ciclo coincidiu com o ano 44 após a morte de Alexander.

O período Callippic baseia-se no período de Metonic concebido por Meton (nascido por volta de 460 aC). As observações de METON foram feitas em Atenas em 432 aC, mas ele deu um comprimento para o ano que era 1/76, de um dia muito longo. A relação entre o período de Calipo e que de Méton são explicados em [2] como se segue: -

Calipo de Cyzicus (c. 370-300 aC) foi talvez o astrónomo mais importante do seu dia. Ele formou o que tem sido chamado o período Callippic, essencialmente, um ciclo de quatro períodos Metônico. Foi mais preciso do que o ciclo Metonic original e fez uso do facto de 365,25 dias é um valor mais preciso para o ano tropical de 365 dias. O período Callippic consistiu de 4 × 235 ou 940 meses lunares, mas a sua distribuição de meses ocos e cheios era diferente de Meton de. Em vez de ter os totais de 440 e 500 meses oco completos, Calipo adoptada 441 499 oco e cheio, reduzindo assim o comprimento de quatro ciclos Metônico por um dia. O total de dias envolvidos, portanto, tornou-se (441 × 29) + (499 x 30), ou 27.759 e 27.759 ÷ (19 × 4) dá 365,25 dias exatamente. Assim, o ciclo calíptico equipado 940 meses lunares precisamente a 76 anos tropicais de 365,25 dias.

Calipo introduziu um sistema de 34 esferas para explicar os movimentos dos corpos celestes. O Sol, Lua, Mercúrio, Vênus e Marte cada um tinha cinco esferas, enquanto Júpiter e Saturno tinha quatro e as estrelas tiveram um. Esta adição de seis esferas sobre o sistema proposto por Eudoxus aumentou a precisão da teoria, preservando a crença de que os corpos celestes tiveram que possuem movimento baseado no círculo, uma vez que era o caminho "perfeito". Heath [4] escreve: -

Callipus tentou tornar o sistema de esferas concêntricas atender os fenômenos mais exatamente, adicionando outras esferas; ele deixou o número de esferas de quatro no caso de Júpiter e Saturno, mas acrescentou um cada para os outros planetas e dois cada um no caso de o sol ea lua .... Isso substitui o hippopede [ver o artigo Eudoxus] uma figura alongada ainda mais complicada ...

Outras contribuições de Calipo a astronomia matemática incluída sua observação da desigualdade nos comprimentos das estações. Ele foi responsável por este no seu modelo, fazendo a velocidade do Sol variar ao longo do ano e isto foi alcançado com as duas esferas adicionais descritos acima.

O período Callippic contribuiu para a precisão das teorias astronômicas posteriores. Kieffer escreve em [1]: -

Embora o sistema de esferas concêntricas deu lugar a epiciclos e excêntricos, período de Calipo se tornou o padrão para correlacionar observações com precisão ao longo de muitos séculos, e, assim, contribuído para a precisão das teorias astronômicas posteriores.

Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

abril 1999

MacTutor História da Matemática

78 -Matemática - Aula 4 - Números na arte e na natureza

DIVIRTA-SE (78)

Cortando a cruz

Com duas linhas retas, divida a Cruz Suíça abaixo em quatro peças congruentes que possam ser unidas formando um quadrado.

Jogos matemáticos - 78

LOCATE THE ALIENS

Os aliens estão perdidos! Mas, você pode ajudá-los digitando as coordenadas do plano em que eles se encontram.
Quantos você conseguirá localizar antes que o tempo acabe?
Descubra clicando em LOCATE THE ALIENS

FRACTAIS (18)

Brasil x Argentina

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*MENAECMUS

Menaechmus

Data de Nascimento: cerca de 380 aC na Alopeconnesus, Ásia Menor (atual Turquia)
Morreu em: cerca de 320 aC

Menaechmus é mencionado por Proclus que nos diz que ele era um aluno de Eudoxus na seguinte citação (ver por exemplo [3]): -

Amyclas de Heraclea, um dos associados de Platão, e Menaechmus, um aluno de Eudoxus que havia estudado com Platão, e seu irmão Dinostratus fez toda a geometria ainda mais perfeito.

Há uma outra referência no Suda Lexicon (a obra de um lexicógrafo grego do século 10), que afirma que Menaechmus era (ver por exemplo [1]): -

... Um filósofo platônico da Alopeconnesus, ou de acordo com alguns dos Proconnesus, que escreveu obras de filosofia e de três livros sobre a República de Platão ...

Alopeconnesus e Proconnesus estão muito perto, a primeira na Trácia ea segunda no mar de Marmara, e ambos não estão longe de Cyzicus onde o professor de Menaechmus Eudoxus funcionou. As datas para Menaechmus são consistentes com ele ser um aluno de Eudoxus mas também são consistentes com uma anedota contada por Stobaeus escrito no século 5 dC. Stobaeus conta a história bem familiar que também foi dito de outros matemáticos como Euclides, dizendo que Alexandre, o Grande perguntou Menaechmus para mostrar-lhe uma maneira fácil de aprender geometria para que Menaechmus respondeu (ver por exemplo [1]): -

Ó rei, para viajar por todo o país existem estradas privadas e estradas reais, mas na geometria existe um caminho para todos.

Alguns têm inferido a partir desta (ver por exemplo [4]), que Menaechmus agiu como um tutor de Alexandre, o Grande, e na verdade isso não é impossível imaginar uma vez como Allman sugere Aristóteles pode ter fornecido a ligação entre os dois. Há também uma implicação nos escritos de Proclo que Menaechmus era o chefe de uma escola e isso é argumentado de forma convincente por Allman em [4]. Se de fato for este o caso Allman argumenta que a escola em questão era o único em Cyzicus onde Eudoxus tinha ensinado antes dele.

Menaechmus é famoso por sua descoberta das seções cônicas e ele foi o primeiro a mostrar que elipses, parábolas e hipérboles são obtidos por corte de um cone em um plano não paralelo à base. Tem sido geralmente pensado que Menaechmus não inventou as palavras "parábola" e "hipérbole", mas que estas foram inventadas por Apolônio mais tarde. No entanto a evidência recente em Diocles 'On queima espelhos descobertos na tradução árabe na década de 1970, levou G J Toomer a alegação de que ambos os nomes' parábola 'e' hipérbole 'são mais velhos do que Apolônio.

Menaechmus fez suas descobertas sobre cónicas, enquanto ele estava tentando resolver o problema da duplicação do cubo. Na verdade o problema específico que ele partiu para resolver era encontrar dois proporcionais média entre duas retas. Isso ele conseguiu e, portanto, resolveu o problema da duplicação do cubo usando essas seções cônicas. A solução da Menaechmus é descrito por Eutocius em seu comentário de Arquimedes sobre a esfera e cilindro.

Suponha que nos é dado, a b e queremos encontrar dois médios proporcionais x, y entre eles. Em seguida, um: x = x: y = y: b assim, fazendo um pedaço da matemática moderna,

a / x = x / y de modo x2 = ay, e a / x = y xy / b so = ab.

Vemos agora que os valores de X e Y são encontrados a partir da interseção da parábola x2 = ay e da hipérbole xy rectangular = ab. É claro que devemos ênfase que isso de modo algum indica a maneira que Menaechmus resolveu o problema mas mostra em termos modernos como a parábola e hipérbole entrar na solução para o problema.

Imediatamente após esta solução, Eutocius dá uma segunda solução. Mais uma vez um pedaço de matemática moderna ilustra isso:

a / x = x / y de modo x2 = ay, e x / y = y / b tão y2 = bx.

Vemos agora que os valores de X e Y são encontrados a partir da interseção das duas parábolas x2 = ay e y2 = bx.

[1], [3] e [4] todos considerar um problema associado com essas soluções. Plutarco afirma que Platão desaprovou a solução da Menaechmus uso de dispositivos mecânicos que, acreditava ele, degradados o estudo da geometria que ele considerada como a maior conquista da mente humana. No entanto, a solução descrita acima, que se segue Eutocius não parecem envolver dispositivos mecânicos. Os especialistas têm discutido se Menaechmus poderia ter usado um dispositivo mecânico de tirar as suas curvas.

Allman [4] sugere que Menaechmus poderia ter desenhado as curvas encontrando muitos pontos sobre os mesmos e que esta pode ser considerado como um dispositivo mecânico. A solução proposta para esta questão em [1], no entanto, parece ser particularmente atraente. O que veio a ser conhecido como solução de Platão para o problema da duplicação do cubo é amplamente reconhecido como não devido a Platão uma vez que envolve um instrumento mecânico. Heath [3] escreve: -

..., Parece provável que alguém que tinha segunda solução de Menaechmus antes dele trabalhado para mostrar como a mesma representação das quatro linhas rectas podia ser obtido por uma construção mecânica como uma alternativa ao uso de secções cónicas.

A sugestão feita em [1] é que o "alguém" desta citação foi o próprio Menaechmus.

Outras referências a Menaechmus incluem um por Theon de Esmirna que sugere que ele era um defensor da teoria dos corpos celestes com base em esferas concêntricas de Eudoxo. Na verdade Theon de Smyrna afirma que Menaechmus desenvolveu a teoria mais longe, acrescentando novas esferas. Houve conjecturas feitas quanto ao local onde esta informação foi escrita por Menaechmus de modo que ele estava disponível para Theon de Esmirna. Uma conjectura é que ele apareceu em comentários de Menaechmus na República de Platão referido na citação acima do Suda Lexicon.

Proclus escreve sobre Menaechmus dizendo que ele estudou a estrutura da matemática [4]: ​​-

... Ele discutiu, por exemplo, a diferença entre o significado mais amplo do elemento nominativo (no qual pode-se dizer qualquer proposição que leva a outra a ser um elemento da mesma) e do sentido mais estrito de algo permanente simples e fundamental para consequências elaborado a partir dele na relação de um princípio, que é capaz de ser universalmente aplicado e entra na prova de todos os tipos de proposições.

Outra questão relacionada com a estrutura da matemática que Menaechmus discutidos foi a distinção entre teoremas e problemas. Embora muitos havia afirmado que os dois eram diferentes, Menaechmus por outro lado, alegou que não havia nenhuma distinção fundamental. Ambos são problemas, segundo ele, mas no uso dos termos que são direcionados para diferentes objetos.

Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

abril 1999

MacTutor História da Matemática

77 - Matemática - Aula 3 - Números: uma visão histórica

Jogos matemáticos - 77

TRITRIS

Este jogo nada mais é do que o tetris que talvez você já conheça.
A diferença é que você pode ter até 3 jogos acontecendo ao mesmo tempo...
Diversão tripla não?

TRITRIS

FRACTAIS (17)

O Jogo de dados de Mozart

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*ARISTÓTELES

Aristóteles

Data de Nascimento: 384 aC na Stagirus, Macedónia, Grécia
Morreu em: 322 aC, em Chalcis, Eubéia, na Grécia

Aristóteles não era primariamente um matemático, mas fez importantes contribuições por sistematização lógica dedutiva. Ele escreveu sobre temas física: algumas partes de seus posteriora Analytica mostram uma compreensão incomum do método matemático. Principalmente, no entanto, ele é importante para o desenvolvimento de todo o conhecimento, pois, como os autores [2] escreve: -

Aristóteles, mais do que qualquer outro pensador, determinou a orientação eo conteúdo da história intelectual ocidental. Ele foi o autor de um sistema filosófico e científico que, através dos séculos, tornou-se o apoio e veículo para tanto medieval cristã e pensamento escolástico islâmica: até o final do século 17, a cultura ocidental era aristotélica. E, mesmo após as revoluções intelectuais dos séculos a seguir, conceitos e ideias de Aristóteles permaneceu embutido no pensamento ocidental.

Aristóteles nasceu em Stagirus ou Stagira ou Stageirus, na península Chalcidic do norte da Grécia. Seu pai era Nicômaco, médico de profissão, enquanto sua mãe foi nomeada Phaestis. Nicômaco era certamente vivendo em Chalcidice quando Aristóteles nasceu e ele provavelmente tinha nascido naquela região. A mãe de Aristóteles, Phaestis, veio de Chalcis na Eubéia e sua família tivesse uma propriedade lá.

Há pouca dúvida de que a Nicômaco Aristóteles teria destinado a se tornar um médico, para a tradição foi que habilidades médicas foram mantidos em segredo e transmitido de pai para filho. Não era uma sociedade onde as pessoas visitou um médico, mas sim que era os médicos que viajaram pelo país tendendo para o doente. Embora não sabemos nada dos primeiros anos de Aristóteles é muito provável que ele teria acompanhado seu pai em suas viagens. Nós sabemos que Nicômaco encontrou as condições em Chalcidice menos satisfatório do que no estado vizinho da Macedónia e ele começou a trabalhar lá com tanto sucesso que logo foi apontado como o médico pessoal de Amintas III, rei da Macedônia.

Não há nenhum registro para indicar se Aristóteles viveu com seu pai em Pella, capital da Macedónia, enquanto a Nicômaco atendido rei Amintas na corte lá. No entanto, Aristóteles foi certamente amigável com Philip, filho do rei Amintas, alguns anos mais tarde e parece razoável supor que os dois, que eram quase exatamente a mesma idade, tinha-se tornado amigável em Pella como crianças.

Quando Aristóteles tinha cerca de dez anos, seu pai morreu. Isso certamente fez com que Aristóteles não poderia agora seguir na profissão de médico de seu pai e, desde que sua mãe também parece ter morrido jovem, Aristóteles foi criado por um tutor, Proxenus de Atarneus, que era seu tio (ou, eventualmente, um amigo da família como é sugerido por alguns autores). Proxenus ensinou Aristóteles grego, retórica e poesia que complementou os ensinamentos biológicos que Nicômaco tinha dado Aristóteles como parte do treinamento de seu filho na medicina. Uma vez que na última vida Aristóteles escreveu fina prosa grega, isso também deve ter sido parte de sua educação precoce.

Em 367 aC, Aristóteles, com a idade de dezessete anos, tornou-se um estudante na Academia de Platão em Atenas. No momento em que Aristóteles se juntou a Academia tinha sido funcionamento há vinte anos. Platão não estava em Atenas, mas ele estava em sua primeira visita a Siracusa. Não devemos pensar da Academia de Platão como uma organização não-política interessado apenas em idéias abstratas. A Academia foi altamente envolvido na política da época, na visita do fato de Platão à Sicília foi por razões políticas, e as políticas da Academia e de toda a região iria desempenhar um papel importante em influenciar o curso da vida de Aristóteles.

Quando Aristóteles chegou a Atenas, a Academia estava sendo executado por Eudoxo de Cnidos na ausência de Platão. Speusippus, sobrinho de Platão, também estava ensinando na Academia como foi Xenocrates de Calcedônia. Depois de ser um estudante, Aristóteles logo se tornou um professor na Academia e ele foi para lá ficar durante vinte anos. Sabemos pouco sobre o que Aristóteles ensinou na Academia. Em [10] Diógenes Laércio, escrita no século II dC, diz que Aristóteles ensinou retórica e dialética. Certamente Aristóteles escreveu sobre a retórica, neste momento, a emissão de Gryllus que atacou os pontos de vista sobre a retórica de Isócrates, que dirigia um outro estabelecimento de ensino principal em Atenas. escritos desse tempo todo de Aristóteles apoiar fortemente as visões de Platão e os da Academia.

Para o final do de Aristóteles vinte anos na Academia de sua posição se tornou difícil devido aos acontecimentos políticos da época. Amintas, rei da Macedônia, morreu por volta de 369 aC, um par de anos antes de Aristóteles foi para Atenas para se juntar à Academia. Dois dos filhos de Amintas, Alexander II e Pérdicas III, cada um reinou Macedónia por um tempo, mas o reino sofria de ambas as disputas internas e guerras externas. Em terceiro filho de 359 aC Amintas, Philip II subiu ao trono quando Pérdicas foi morto lutando contra uma invasão Ilíria. Philip usou táticas hábeis, tanto militares como políticos, para permitir Macedónia um período de paz interna em que se expandiu por vitórias sobre as áreas circundantes.

Philip capturado Olynthus e anexada Chalcidice em 348 aC. Stagirus, a cidade de nascimento de Aristóteles, realizada fora por um tempo, mas também foi derrotado por Philip. Atenas preocupado com as poderosas forças ameaçadoras da Macedónia, e ainda Aristóteles havia sido criado na corte da Macedónia e provavelmente tinha conservado sua amizade com Philip. A ordem dos acontecimentos é agora um pouco incerto. Platão morreu em 347 aC e Speusippus assumiu a liderança da Academia. Aristóteles foi certamente não em opiniões de Speusippus e ele pode ter deixado a Academia após a morte de Platão por razões académicas ou porque ele não conseguiu ser nomeado chefe do próprio Academy. Algumas fontes, no entanto, sugerem que ele pode ter deixado por razões políticas antes de Platão morreu por causa de sua impopularidade, devido às suas ligações macedónios.

Aristóteles viajou de Atenas para Assos que enfrenta na ilha de Lesbos. Ele não estava sozinho em deixar a Academia para Xenocrates de Calcedônia deixado com ele. Em Assos Aristóteles foi recebido pelo Hermias governante de Atarneus com muito aplauso. É provável que Aristóteles estava agindo como um embaixador para Felipe e ele certamente foi tratada como tal pelas Hermias. Aristóteles casou Pythias, a sobrinha e filha adotiva de Hermias, e eles tiveram um filho, uma filha também chamada Pythias. No entanto, a esposa de Aristóteles morreu cerca de 10 anos depois de seu casamento. Acredita-se que ela era muito mais jovem do que Aristóteles, sendo provavelmente da idade de cerca de 18 anos quando eles se casaram.

Em Assos, Aristóteles tornou-se o líder do grupo de filósofos que Hermias haviam se reunido lá. É possível que Xenocrates também era um membro do grupo por um tempo. Aristóteles tinha um forte interesse em anatomia e da estrutura dos seres vivos em geral, um interesse que seu pai tinha promovido nele em seus primeiros anos, que o ajudou a desenvolver um talento notável para observação. Aristóteles e os membros de seu grupo começou a recolher observações, enquanto em Assos, em especial em zoologia e biologia. Barnes escreve em [6] que Aristóteles: -

... Estudos em animais lançaram as bases das ciências biológicas; e eles não foram substituídos até mais de dois mil anos após sua morte. As investigações sobre a qual essas grandes obras foram baseadas provavelmente foram realizadas principalmente em Assos e Lesbos.

Aristóteles provavelmente começou sua Política de trabalho em Assos, bem como sobre o Reinado que agora está perdido. Ele começou a desenvolver uma filosofia distinta da de Platão que disse que os reis deveriam ser filósofos e filósofos reis. Em Em Realeza Aristóteles escreveu que é: -

... Não apenas desnecessária para um rei para ser um filósofo, mas até mesmo uma desvantagem. Em vez um rei deveria seguir os conselhos dos verdadeiros filósofos. Então ele iria encher o seu reinado com boas ações, não com palavras boas.

No entanto, o tempo de Aristóteles, em Assos foi terminado por acontecimentos políticos. Os persas atacaram a cidade e Hermias foi capturado e executado. Aristóteles escapou e parou na ilha de Lesbos em seu caminho para Macedónia. Era mais do que uma visita de passagem para ele permaneceu ali por cerca de um ano e deve ter tido o grupo de cientistas de Assos com ele por eles continuaram suas pesquisas biológicas lá.

Macedónia agora estava em paz com Atenas, por Filipe ter feito um tratado, em 346 aC. Em 343 aC, Aristóteles chegou ao Tribunal da Macedónia e ele foi para lá ficar por sete anos. A história frequentemente citado que ele se tornou tutor do jovem Alexandre, o Grande, filho de Filipe, é quase certamente uma invenção mais tarde, como foi apontado por Jaeger, veja [16]. Grayeff em [12] sugere que Felipe viu em Aristóteles um futuro chefe da Academia, em Atenas. Certamente isto teria adaptado Philip bem para Speusippus, o então chefe da Academia, foi fortemente contestado a Philip e incentivando fortemente Atenas para se opor a ascensão da Macedônia.

O tratado entre Atenas ea Macedónia começou a desmoronar em 340 aC e preparativos para a guerra começou. No ano seguinte Speusippus morreu, mas Aristóteles, embora proposto como chefe da Academia, não foi eleito. A posição foi para Xenocrates e Philip perdeu o interesse em seu apoio a Aristóteles. Ele voltou para sua casa em Stagirus e levou com ele para Stagirus seu círculo de filósofos e cientistas.

Aristóteles não se casar novamente após a morte de sua esposa, mas ele se formou um relacionamento com Herpyllis, que veio de sua cidade natal, Stagirus. Não está claro quando se conheceram, mas juntos eles tiveram um filho, Nicômaco, nomeado após o pai de Aristóteles.

Philip estava agora no auge de seu poder, mas, como tantas vezes acontece, que provou o tempo para disputas internas. Aristóteles apoiado Alexandre, filho de Filipe, que logo se tornou rei. Alexander decidido sobre uma política semelhante ao seu pai em relação a Atenas e procurou fazer valer o seu poder por meios pacíficos. Alexander protegida da Academia e encorajou-o a continuar com o seu trabalho. Ao mesmo tempo, porém, ele enviou Aristóteles a Atenas para fundar um estabelecimento rival.

Em 335 aC, Aristóteles fundou sua própria escola Liceu em Atenas. Ele chegou na cidade com assistentes para o pessoal da escola e uma grande variedade de materiais de ensino que se tinham reunido, enquanto na Macedónia; livros, mapas e outros materiais de ensino que pode muito bem ter sido destinados a um estágio para apoiar Aristóteles em sua tentativa de se tornar chefe da Academia. A Academia sempre foi estreita em seus interesses, mas o Liceu sob Aristóteles prosseguido uma ampla gama de assuntos. Destaque foi dado por Aristóteles para o estudo detalhado da natureza e neste e em todos os outros assuntos que ele estudou [6]: -

Suas próprias pesquisas foram realizadas em empresa, e ele se comunicava seus pensamentos para seus amigos e alunos, nunca pensando em mantê-las como um tesouro-store privado. Ele pensou que, de fato, que um homem não pode afirmar que sabe um assunto a menos que ele foi capaz de transmitir seu conhecimento para os outros, e ele considerava o ensino como a manifestação adequada de conhecimento.

Se as obras que chegaram até nós são devidos a Aristóteles ou de membros posteriores de sua escola foi questionada por um número de estudiosos no final do século 19. As razões são discutidas por Jaeger [16], mas neste trabalho Jaeger argumenta que as aparentes diferenças na abordagem por Aristóteles em diferentes trabalhos pode ser explicada por suas idéias em desenvolvimento ao longo de vários anos. Grayeff [6] examina alguns textos em detalhe e novamente afirma que eles representam a evolução das idéias da escola de Aristóteles muito tempo depois de sua morte. Ele escreve:-

De acordo com uma tradição que surgiu cerca de duzentos e cinquenta anos depois de sua morte, que, em seguida, tornou-se dominante e até hoje praticamente não é contestado, Aristóteles nesses mesmos anos lecionou - não uma, mas duas ou três vezes, em quase todos os assuntos - na lógica , física, astronomia, meteorologia, zoologia, metafísica, teologia, psicologia, política, economia, ética, retórica, poética; e que ele escreveu estas palestras, expandi-las e modificá-las várias vezes, até que chegaram ao estágio em que lê-los. No entanto, ainda mais surpreendente é o fato de que a maioria destes indivíduos não existia como tal diante dele, para que ele teria sido o primeiro a conceber e estabelecê-los, como disciplinas sistemáticas.

Após a morte de Alexandre, o Grande, em 323 aC, o sentimento anti-macedónio em Atenas fez Aristóteles retirar-se para Chalcis onde viveu na casa que pertencera à sua mãe e ainda foi mantido pela família. Ele morreu no ano seguinte de uma queixa do estômago com a idade de 62.

É virtualmente impossível dar uma impressão da personalidade de Aristóteles com toda a certeza, mas os autores [2] escreve: -

As anedotas relacionadas dele revelar como um personagem gentil, carinhoso, e eles mostram quase nenhum traço da auto-importância que alguns estudiosos acham que podem detectar em suas obras. Sua vontade, que foi preservada, apresenta os mesmos traços gentis; ele faz referências à sua vida familiar feliz e cuida solícita de seus filhos, bem como seus servos.

Barnes [6] escreve: -

Ele foi um pouco de um dandy, anéis usando em seus dedos e cortar o cabelo moda curta. Ele sofria de má digestão, e é dito ter sido fuso shanked. Ele era um bom orador, lúcido em suas palestras, persuasiva na conversa; e ele tinha um humor mordaz. Seus inimigos, que eram numerosos, fê-lo por ser arrogante e arrogante. ... Como um homem que ele era, eu suspeito, admirável ao invés de afável.

Já comentamos acima sobre as disputas entre os estudiosos modernos quanto ao facto de Aristóteles escreveu os tratados agora atribuídos a ele. Nós sabemos que o seu trabalho se divide em duas partes distintas, ou seja, as obras que publicou durante sua vida e que agora estão perdidos (embora alguns fragmentos sobreviver em citações em trabalhos de outros), ea coleção de escritos que chegaram até nós e foram não publicado por Aristóteles em sua vida. Nós podemos dizer com certeza que Aristóteles nunca pretendeu estas 30 obras que enchem mais de 2000 páginas impressas para ser publicado. Eles são certamente notas de aula dos cursos ministrados no Liceu quer ser, como a maioria dos estudiosos acreditam que, a obra de Aristóteles, ou de professores posteriores. Claro que é claramente possível que eles são notas dos cursos originalmente dado por Aristóteles, mas mais tarde completado por outros docentes após a morte de Aristóteles.

Os trabalhos foram publicados pela primeira vez em cerca de 60 aC por Andrônico de Rodes, o último chefe do Liceu. Certamente [2]: -

A forma, títulos e ordem dos textos de Aristóteles que são estudados até hoje foram dadas a eles por Andrônico de quase três séculos após a morte do filósofo, e a longa história de comentário sobre eles começou nesta fase.

O que essas obras contêm? Existem importantes obras sobre a lógica. Aristóteles acreditava que a lógica não era uma ciência, mas sim tinha que ser tratado antes do estudo de cada ramo do conhecimento. nome de Aristóteles para a lógica era "análise", a lógica termo que está sendo introduzido por Xenocrates de trabalho na Academia. Aristóteles acreditava que a lógica deve ser aplicado às ciências [6]: -

As ciências - de qualquer modo, as ciências teóricas - serão axiomatised. O que, então, são seus axiomas de ser? Que condições devem satisfazer uma proposta para contar como um axioma? novamente, que forma é que as derivações dentro de cada ciência tomar? Por quais regras serão teoremas ser deduzido de axiomas? Estas são algumas das perguntas a que Aristóteles coloca em seus escritos lógicos, e em particular nas obras conhecidas como Analytics prévias e posteriores.

De fato, em Prior Analytics Aristóteles propôs o agora famoso silogística aristotélica, uma forma de argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão. Seu exemplo é: -

(I) Cada grego é uma pessoa.
(Ii) Cada pessoa é mortal.
(Iii) Cada grego é mortal.

Aristóteles não foi o primeiro a sugerir sistemas axioma. Platão tinha feito a sugestão ousada que pode haver um sistema único axioma de abraçar todo o conhecimento. Aristóteles foi para a sugestão de um pouco mais possível de um sistema de axioma para cada ciência. Observe que Euclides e seu sistema de axiomas para a geometria veio depois de Aristóteles.

Outro tema a que Aristóteles fez grandes contribuições foi a filosofia natural ou melhor, física pela terminologia de hoje. (I [EFR] mostrar a minha idade e a natureza tradicional de St Andrews University se eu observar que na década de 1960 um passe em parte formado 'General Filosofia Natural "do meu curso.) Aristóteles analisa a matéria, mudança, movimento, espaço, posição , e tempo. Ele também fez contribuições para o estudo da astronomia, onde, em particular, ele estudou cometas, geografia com um exame de características tais como rios), química, onde ele estava interessado em processos como a queima, bem como a meteorologia eo estudo do arco-íris.

Bem como importantes obras sobre zoologia e psicologia, Aristóteles escreveu sua famosa obra sobre a metafísica. Este, de acordo com Aristóteles, os estudos [2]: -

... As características mais gerais ou abstratos da realidade e dos princípios que têm validade universal. ... Estudos metafísica o que quer que deve ser verdade de todas as coisas existentes apenas na medida em que existe, [e] estuda as condições gerais que qualquer coisa existente deve satisfazer.

Apesar de Aristóteles não parecem ter feito quaisquer novas descobertas em matemática, ele é importante no desenvolvimento da matemática. Como Heath explica em [14]: -

A importância de uma boa compreensão da matemática em Aristóteles reside principalmente no fato de que a maioria de suas ilustrações do método científico são tomadas a partir matemática.

Claramente Aristóteles tinha uma compreensão profunda da matemática elementar e acredita matemática a ter grande importância como um dos três ciências teóricas. No entanto, é justo dizer que ele não concordava com Platão, que elevou a matemática para um lugar tão proeminente de estudo que havia pouco espaço para a gama de ciências estudadas por Aristóteles. As outras duas ciências teóricas, Aristóteles afirmava, estavam (usando a terminologia moderna) filosofia e física teórica.

Heath observa na introdução [14] alguns dos matemática referidos por Aristóteles em suas obras: -

... Aristóteles estava ciente das importantes descobertas de Eudoxo, que afetou profundamente a exposição dos Elementos de Euclides. Uma alusão mostra claramente que Aristóteles sabia de grande Teoria da Proporção que foi exposta por Euclides em seu Livro V do Eudoxus, e reconheceu a importância do mesmo. Outra passagem recorda o pressuposto fundamental em que Eudoxo baseou seu 'método da exaustão "para medir áreas e volumes; e, claro, Aristóteles estava familiarizado com o sistema de esferas concêntricas pelo qual Eudoxus e Calipo representou teoricamente para os movimentos independentes de sol, da lua e dos planetas. ...

O incomensurável é mencionado uma e outra vez, mas o caso mencionado é o da diagonal de um quadrado em relação ao seu lado; não há nenhuma alusão à extensão da teoria para outros casos, por Theodorus e Theaetetus ...

Heath [14] também menciona a matemática que Aristóteles, talvez surpreendente, não se referem. Há sim:-

... Nenhuma alusão a cónicas, com a duplicação do cubo, ou para o tri-secção de um ângulo. O problema da quadratura do círculo é mencionado em conexão com as tentativas de Antífona, Bryson, e Hipócrates para resolvê-lo; mas não há nada sobre a curva de Hípias ...

Enquanto Heath [14] discute as muitas referências matemáticas em Aristóteles, o livro [5] tenta construir (ou reconstruir) um trabalho sobre a visão de Aristóteles da filosofia da matemática. Como Apóstolo escreve em [5]: -

... Inúmeras passagens sobre a matemática são distribuídos em toda as obras que possuem e indicar uma filosofia definida de matemática, de modo que uma tentativa de construir ou reconstruir essa filosofia com um grau bastante elevado de precisão é possível.

Nós terminamos nossa discussão com uma ilustração de idéias de "contínuo" e "infinito" em matemática de Aristóteles. Heath [15] explica idéia de Aristóteles de que "contínuo": -

... Não poderia ser feito de partes indivisíveis; o que é contínuo em que o limite ou limite entre duas partes consecutivas, em que se tocam, é um e o mesmo ...

Quanto ao infinito Aristóteles acreditava que na verdade não existem, mas apenas potencialmente existe. Aristóteles escreve em Física (ver por exemplo [15]): -

Mas o meu argumento não em todo o caso matemáticos roubar de seu estudo, embora nega a existência do infinito, no sentido da existência real como algo aumentou a tal ponto que não pode ser atravessado; pois, como ele é, eles não precisam o infinito ou usá-lo, mas apenas exigir que a linha reta finita deve ser tão longo como eles por favor. ... Por isso, não fará diferença para eles com a finalidade de provas.

Adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

fev 1999

MacTutor História da Matemática