O Desafio das correlações espúrias

DIVIRTA-SE (95)

Resolva o seguinte (coloque algarismos no lugar das letras):

(L+O+G+I+C)³ = LOGIC

Sinfonia de Poliedros

DIVIRTA-SE (94)

Enigma do inteiro de quatro dígitos

Há um número inteiro n de quatro dígitos, tal que os quatro últimos dígitos do quadrado de n são, de fato, o número original n.

Consegue me dizer qual é esse número?

Desenhando ondas

Música quase sem compositor

DIVIRTA-SE (92)

Padrões em cubos

Na ilustração são mostrados quatro tipos de cubos. Seus padrões são desenhados com linhas pretas. Qual deles você pode desenhar sem tirar o lápis do papel e nem passar pela mesma linha duas vezes?

Grandes Pensadores: Tales

*APASTAMBA

Data de Nascimento: cerca de 600 aC na Índia
Morreu em: cerca de 600 aC na Índia

Para escrever uma biografia de Apastamba é essencialmente impossível, já que nada se sabe sobre ele, exceto que ele era o autor de um Sulbasutra que é certamente mais tarde do que o Sulbasutra de Baudhayana. Além disso, seria justo dizer que Sulbasutra de Apastamba é o mais interessante de um ponto de vista matemático. Não sabemos datas de Apastamba com precisão suficiente para sequer imaginar em um tempo de vida para ele, que é por isso que temos dado o mesmo ano de nascimento aproximada como o ano da morte.

Apastamba não era nem um matemático no sentido de que nós entendemos hoje, nem um escriba que simplesmente copiado manuscritos como Ahmes. Ele certamente teria sido um homem de aprendizado muito considerável, mas provavelmente não está interessado em matemática para seu próprio bem, apenas interessado em usá-lo para fins religiosos. Sem dúvida, ele escreveu o Sulbasutra prever regras para ritos religiosos e melhorar e expandir as regras que haviam sido dadas por seus antecessores. Apastamba teria sido um sacerdote védico instruindo as pessoas nas formas de conduzir os ritos religiosos que ele descreve.

A matemática dadas no Sulbasutras está lá para permitir a construção precisa de altares necessários para sacrifícios. É evidente a partir da escrita que Apastamba, bem como sendo um padre e um professor de práticas religiosas, teria sido um hábil artesão. Ele deve ter sido o próprio especialista na utilização prática da matemática que ele descreveu como um artesão que se construiu altares de sacrifício da mais alta qualidade.

Os Sulbasutras são discutidos em detalhe no artigo Sulbasutras Indiana. Abaixo damos um ou dois detalhes de Sulbasutra de Apastamba. Este trabalho é uma versão expandida do que de Baudhayana. O trabalho de Apastamba consistiu em seis capítulos, enquanto o trabalho anterior de Baudhayana continha apenas três.

A equação linear geral foi resolvido em Sulbasutra do Apastamba. Ele também dá um valor notavelmente precisas para √2 designadamente

1 + 1/3 + 1 / (3 × 4) - 1 / (3 × 4 × 34).

o que dá uma resposta correta para cinco casas decimais. Uma maneira possível que Apastamba poderia ter chegado a este resultado notável é descrito no artigo indiana Sulbasutras.

Bem como o problema da quadratura do círculo, Apastamba considera o problema de dividir um segmento em 7 partes iguais. O artigo [3] examina em detalhe uma reconstrução da versão de Apastamba desses dois problemas.

Texto adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson
nov 2000
MacTutor História da Matemática

Grandes Pensadores: Euclides

*ANAXÁGORAS

Anaxágoras de Clazomenae

Data de Nascimento: 499 aC na Clazomenae (30 km a oeste de Izmir), Lídia (atual Turquia)

Morreu em: 428 aC na Lampsacus, Mísia (hoje Turquia)

Anaxágoras de Clazomenae foi descrito por Proclus, o último grande filósofo grego, que viveu por volta de 450 dC, como (ver por exemplo [4]): -

Depois [Pitágoras] Anaxágoras de Clazomenae tratadas muitas questões de geometria ...

Anaxágoras foi um Jónico, nascido no bairro de Smyrna no que hoje é a Turquia. Sabemos que alguns detalhes de sua vida cedo, mas certamente ele viveu a primeira parte de sua vida em Ionia, onde ele aprendeu sobre os novos estudos que estavam acontecendo lá em filosofia e o novo entusiasmo encontrado para um estudo científico do mundo. Ele veio de uma família rica, mas ele deu a sua riqueza. Como Heath escreve em [4]: ​​-

Ele negligenciou suas posses, que eram consideráveis, a fim de dedicar-se à ciência.

Embora Ionia tinha filósofos produzidos, como Pitágoras, até o momento de Anaxágoras este novo estudo do conhecimento não se espalhou para Atenas. Anaxágoras é famoso como o primeiro a introduzir a filosofia aos atenienses, quando ele se mudou para lá em cerca de 480 aC. Durante a estada de Anaxágoras em Atenas, Péricles subiu ao poder. Péricles, que era cerca de cinco anos mais jovem que Anaxágoras, era um líder militar e político que foi bem sucedido em ambos desenvolvimento da democracia e construir um império que fez Athens o centro político e cultural da Grécia. Anaxágoras e Péricles tornou-se amigos, mas essa amizade tinha suas desvantagens, uma vez adversários políticos de Péricles também se colocaram contra Anaxágoras.

Em cerca de 450 aC Anaxágoras foi preso por afirmar que o Sol não era um deus e que a Lua reflete luz do Sol. Esta parece ter sido instigada por opositores de Péricles. Russell em [6] escreve: -

Os cidadãos de Atenas ... aprovou uma lei permitindo impeachment daqueles que não praticam a religião e ensinava teorias sobre 'as coisas do alto ". Ao abrigo desta lei perseguiram Anaxágoras, que foi acusado de ensinar que o sol era uma pedra incandescente ea lua era terra.

Devemos examinar esse ensinamento de Anaxágoras sobre o sol mais de perto para, embora tenha sido utilizada como razão para colocá-lo na prisão, é um ensinamento mais notável. Foi com base na sua doutrina de "nous", que é traduzido como "mente" ou "razão". Inicialmente, "todas as coisas estavam juntos" e a matéria era uma mistura homogênea. O nous configurar um vórtice nesta mistura. A rotação [4]: ​​-

... Começou no centro e depois se espalhou gradualmente, tendo em círculos cada vez mais amplos. O primeiro efeito foi a de separar duas grandes massas, uma que consiste na raro, quente e seco, o chamado "éter", o outro das categorias opostas e chamado de "ar". O éter tomou o exterior, o ar do local interior. Do ar foram os próximos nuvens separadas, água, terra e pedras. A densa, a úmido, escuro e frio, e todas as coisas mais pesadas, coletados no centro, como resultado do movimento circular, e foi a partir desses elementos, quando consolidadas que a Terra foi formada; mas depois disso, em consequência da violência do movimento giratório, o éter de fogo ao redor rasgou pedras longe da terra e acendeu-los em estrelas.

Há notáveis ​​insights nesta descrição. A ideia de diferenciação da matéria que desempenha um grande papel em teorias modernas da criação do sistema solar está presente. Anaxágoras também mostra uma compreensão da força centrífuga que mais uma vez mostra as principais descobertas científicas que ele possuía.

Anaxágoras propôs que a lua brilha pela luz refletida a partir da "pedra incandescente", que era o sol, o primeiro tal reclamação registrada. Mostrando grande gênio ele também foi então capaz de dar o próximo passo e se tornar o primeiro a explicar corretamente a razão para eclipses do sol e da lua. Sua explicação dos eclipses do Sol está completamente correto, mas ele quis estragar a sua explicação dos eclipses da lua, ao propor que, além de ser causada pela sombra da Terra, havia outros corpos escuros entre a Terra ea Lua, que também causaram eclipses da lua. É um pouco claro por que ele sentiu a necessidade de postular a existência destes corpos, mas isso não tira do grande avanço na astronomia matemática. Há também outras evidências que sugerem que Anaxágoras tinha aplicado geometria para o estudo da astronomia.

Como para a estrutura da matéria, Anaxágoras postulado um número infinito de elementos ou blocos de construção básicos. Ele afirmou: -

... Há uma parte de cada coisa, ou seja, de cada material elementar, em cada coisa ... [mas] cada um é e foi mais manifestamente essas coisas de que há mais no que é.

No entanto, foi o poder de nous, ou mente, que não só criou o mundo, mas também foi a força motriz no seu dia a processos dia. Por exemplo [2]: -

O crescimento dos seres vivos, de acordo com Anaxágoras, depende do poder da mente dentro dos organismos que lhes permite extrair nutrição de substâncias circundantes.

Aristóteles ambos encontrados muito a elogiar na teoria de nous de Anaxágoras. Tanto Platão e Aristóteles, no entanto, criticaram o fato de que a força motriz do nous como proposto por Anaxágoras não era ético. Eles queriam que nous sempre agir no melhor interesse do mundo. Na verdade, o nous de Anaxágoras não fornece uma explicação mecânica do mundo após o início não mecânico quando o vórtice é produzido. Vale a pena notar que universo mecânico de Newton teria mais em comum com as opiniões de Anaxágoras que a inteligência ética contínua proposto por Platão e Aristóteles.

Podemos obter algumas pistas para a matemática que Anaxágoras estudados, mas, infelizmente, muito pouco resta nos registros para permitir-nos para saber dos resultados definitivos que ele pode ter provadas. Enquanto na prisão, ele tentou resolver o problema da quadratura do círculo, que está a construir com régua e compasso um quadrado com área igual à de um determinado círculo. Este é o primeiro relato do problema a ser estudado e este problema, e outros problemas semelhantes, se a desempenhar um papel importante no desenvolvimento da matemática grega.

Uma outra parte intrigante de informação vem da escrita de Vitruvius, um arquiteto romano, engenheiro e autor que viveu no primeiro século aC. Ele registra informações sobre a pintura de cenas de palco para os jogos que foram realizados em Atenas e diz que Anaxágoras escreveu um tratado sobre como pintar cenas de modo que alguns objetos parecia estar em primeiro plano, enquanto outro apareceu em segundo plano. Este comentário fascinante deve significar que Anaxágoras, escreveu um tratado sobre a perspectiva, mas infelizmente não tal trabalho sobrevive.

Anaxágoras foi salvo da prisão por Péricles, mas teve de deixar Atenas. Ele voltou para Ionia, onde fundou uma escola em Lampsacus. Esta cidade grega na costa asiática do Helesponto era o lugar para a adoração de Príapo, deus da procriação e fertilidade. Anaxágoras morreu lá eo aniversário de sua morte se tornou um feriado para escolares.

O melhor que podemos esperar para aprender da personalidade de Anaxágoras é da história que, quando uma vez perguntou o que como o ponto de nascer, ele respondeu [4]: ​​-

A investigação do sol. Lua e céu.

Mesmo que esta história é fictícia, é provável que seja com base na maneira que Anaxágoras viveu a sua vida e assim nos diz algo sobre a personalidade deste notável cientista que fez uma descrição da criação do sistema solar, que teve 2000 anos para melhorar upon.

Texto adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

fev 1999

MacTutor História da Matemática

Música quase por acaso

*PANINI

Data de Nascimento: cerca de 520 aC na Shalatula (perto de Attock), hoje o Paquistão

Morreu em: cerca de 460 aC na Índia

Panini nasceu em Shalatula, uma cidade perto de Attock no rio Indo, no atual Paquistão. As datas indicadas para a Panini são suposições puros. Especialistas dão datas no 4o, 5o, 6o e 7o século BC e também não há consenso entre os historiadores sobre a extensão do trabalho que ele realizou. O que está em dúvida é que, dado o período em que ele trabalhava, ele é uma das pessoas mais inovadoras em todo o desenvolvimento do conhecimento. Vamos falar um pouco mais abaixo sobre como os historiadores têm ido sobre a tentativa de identificar a data em Panini viveu.

Panini foi um gramático sânscrito que deu uma teoria abrangente e científica da fonética, fonologia e morfologia. Sânscrito era a língua literária clássica dos hindus indianos e Panini é considerado o fundador da língua e da literatura. É interessante notar que a palavra "sânscrito" significa "completa" ou "perfeito" e foi pensado como a linguagem divina, ou a linguagem dos deuses.

Um tratado chamado Astadhyayi (ou Astaka) é um trabalho importante da Panini. É composto por oito capítulos, cada uma subdividida em capítulos trimestre. Neste trabalho Panini distingue entre a linguagem dos textos sagrados ea linguagem usual de comunicação. Panini dá regras de produção formais e definições para descrever a gramática sânscrita. Começando com cerca de 1.700 elementos básicos como substantivos, verbos, vogais, consoantes que colocá-los em classes. A construção de frases, etc. substantivos compostos é explicado como regras ordenadas a operarem em estruturas subjacentes de uma maneira semelhante à teoria moderna. Em muitas formas de panini construções são semelhantes à forma que uma função matemática definida é hoje. Joseph escreve em [2]: -

potencial [do sânscrito] para uso científico foi bastante reforçada como resultado da sistematização completa de sua gramática pela Panini. ... Com base em pouco menos de 4000 sutras [regras expressas como aforismos], ele construiu praticamente toda a estrutura do idioma sânscrito, cuja "forma" geral pouco mudou para os próximos dois mil anos. ... Uma consequência indireta dos esforços da Panini para aumentar a facilidade linguística do sânscrito logo se tornou evidente no caráter da literatura científica e matemática. Isso pode ser trazido para fora, comparando a gramática de sânscrito com a geometria de Euclides - uma comparação particularmente pertinente uma vez que, enquanto que em matemática cresceu a partir da filosofia na Grécia antiga, era ... em parte um resultado da evolução linguística na Índia.

Joseph continua a fazer um argumento convincente para a natureza algébrica de matemática indiana que surgem como consequência da estrutura da língua sânscrita. Em particular, ele sugere que o raciocínio algébrico, o modo indiano de representar números por palavras e, finalmente, o desenvolvimento de sistemas numéricos modernos na Índia, estão ligados através da estrutura da linguagem.

Panini deve ser pensado como o precursor da teoria linguagem formal moderna utilizada para especificar linguagens de computador. A forma normal Backus foi descoberto independentemente por John Backus em 1959, mas a notação da Panini é equivalente ao seu alcance para que a Backus e tem muitas propriedades semelhantes. É notável a pensar que os conceitos que são fundamentais para a ciência da computação teórica de hoje deve ter a sua origem com um génio indiano cerca de 2500 anos atrás.

No início deste artigo, mencionamos que certos conceitos tinha sido atribuída a Panini por certos historiadores que outros disputam. Uma tal teoria foi apresentada por B Indraji em 1876. Ele alegou que os números Brahmi desenvolvido a partir do uso de letras ou sílabas como numerais. Em seguida, ele colocou os toques finais à teoria sugerindo que Panini no século VIII aC (mais cedo do que a maioria dos historiadores colocam Panini) foi o primeiro a vir para cima com a idéia de usar letras do alfabeto para representar números.

Há uma série de peças de evidência para apoiar a teoria de Indraji que os números Brahmi desenvolvido a partir de letras ou sílabas. No entanto, não é totalmente convincente, uma vez, para citar um exemplo, os símbolos para 1, 2 e 3 claramente não vêm de cartas, mas a partir de um, dois e três linhas, respectivamente. Mesmo que se aceite a ligação entre os números e as letras, fazendo Panini o autor dessa idéia parece não ter mais por trás disso do que saber que a Panini foi um dos gênios mais inovadoras que o mundo já conheceu por isso não é razoável acreditar que ele poderia ter feito este passo também.

Há outras obras que estão intimamente associados com o Astadhyayi que alguns historiadores atribuem a Panini, outros atribuem aos autores antes da Panini, outros atribuem aos autores após Panini. Esta é uma área onde há muitas teorias, mas poucos, se houver, fatos duros.

Nós também prometeu voltar a uma discussão sobre datas da Panini. Não houve falta de trabalho sobre este tema de modo que o fato de que existem teorias que abrangem várias centenas de anos não é o resultado da falta de esforço, em vez de uma indicação da dificuldade do tema. A maneira usual de data tais textos seria examinar quais os autores são referidos e que os autores referem-se ao trabalho. Pode-se usar esta técnica e ver quem Panini menciona.

Há dez estudiosos mencionados pela Panini e nós deve assumir a partir do contexto que estes dez têm contribuído para o estudo da gramática sânscrita. Isto em si, é claro, indica que a Panini não era um gênio solitário, mas, como Newton, tinha "estava sobre os ombros de gigantes". Panini deve ter vivido mais tarde do que estes dez, mas isso é absolutamente nenhuma ajuda no fornecimento de datas, uma vez que não têm absolutamente nenhum conhecimento de quando qualquer um destes dez viveu.

Que outra evidência interna está lá para usar? Bem, é claro Panini usa muitas frases para ilustrar sua gramática qualquer estes foram examinados minuciosamente para ver se alguma coisa está contido lá para indicar uma data. Para dar um exemplo do que queremos dizer: se tivéssemos de pegar um texto que continha como um exemplo "I pegar o trem para trabalhar todos os dias" saberíamos que ele tinha que ter sido escrito após ferrovias tornou-se comum. Vamos ilustrar com dois exemplos reais do Astadhyayi que tenham sido objecto de muito estudo. A primeira é uma tentativa para ver se há evidência da influência grega. Seria possível encontrar evidências que significaria que o texto tinha que ter sido escrito após as conquistas de Alexandre, o Grande? Existe uma pequena evidência da influência grega, mas não houve influência grega sobre esta parte nordeste do subcontinente indiano antes do tempo de Alexandre. Nada conclusivo foi identificado.

Outro ângulo é examinar uma referência Panini faz para freiras. Alguns argumentam que estes devem ser monjas budistas e, portanto, o trabalho deve ter sido escrito depois de Buda. Um argumento bom, mas há um contra-argumento que diz que havia freiras jainistas antes do tempo de referência de Buda e Panini poderia igualmente bem ser para eles. Mais uma vez a evidência é inconclusiva.

Há referências de outros para Panini. No entanto, parece que a Panini a quem a maioria se referem é um poeta e, embora alguns argumentam que estes são a mesma pessoa, a maioria dos historiadores concorda que o lingüista e poeta são duas pessoas diferentes. Novamente, isto é uma evidência conclusiva.

Vamos terminar com uma avaliação da contribuição da Panini por Cardona em [1]: -

gramática de Panini foi avaliada a partir de vários pontos de vista. Depois de todos estes diferentes avaliações, acho que os méritos de gramática afirmando ... que é um dos maiores monumentos da inteligência humana.

Texto adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

nov 2000

MacTutor História da Matemática

Procurando Xenakis

*APOLÔNIO

Apolônio de Perga

Nascido: cerca de 262 aC em Perge, da Panfília, do grega Ionia (agora Murtina, Antalya, Turquia)
Morreu em: cerca de 190 aC em Alexandria, Egito

Apolônio de Perga era conhecido como "O Grande Geometer '. Pouco se sabe sobre sua vida, mas suas obras tiveram uma grande influência no desenvolvimento da matemática, em particular, seu famoso livro Cónicas introduziu termos que são familiares para nós hoje, como parábola, elipse e hipérbole.

Apolônio de Perga não deve ser confundido com outros estudiosos grego chamado Apolônio, pois era um nome comum. Em [1] detalhes de outras pessoas com o nome de Apolônio são dadas: Apolônio de Rodes, nascido por volta de 295 aC, poeta e gramático grego, aluno de Calímaco que era um professor de Eratóstenes; Apolônio de Tralles, século 2 aC, um escultor grego; Apolônio ateniense, século 1 aC, um escultor; Apolônio de Tiana, 1 º século dC, um membro da sociedade fundada por Pitágoras; Apolônio Díscolo, 2o século dC, um gramático grego, que era tida como o fundador do estudo sistemático da gramática; e Apolônio de Tiro, que é um personagem literário.

O matemático Apolônio nasceu em Perge, da Panfília que hoje é conhecido como Murtina ou Murtana e está agora em Antalya, Turquia. Perge era um centro de cultura neste momento e foi o local de culto da Rainha Artemis, a deusa da natureza. Quando ele era um jovem Apolônio foi para Alexandria, onde estudou com os seguidores de Euclides e mais tarde ele ensinou lá. Apolônio visitou Pérgamo, onde uma universidade e uma biblioteca semelhante a Alexandria tinha sido construída. Pergamum, hoje a cidade de Pérgamo, na província de Izmir, na Turquia, foi uma antiga cidade grega da Mísia. Ele foi situado a 25 km do Mar Egeu em uma colina no lado norte do amplo vale do rio Caicus (chamado o rio Bakir hoje).

Embora Apolônio estava em Pérgamo se encontrou Eudemo de Pérgamo (para não ser confundido com Eudemus de Rodes que escreveu a História da geometria) e também Attalus, que muitos pensam que devem ser rei Attalus I de Pérgamo. No prefácio à segunda edição do Cónicas Apolônio dirigida Eudemo (ver [4] ou [7]): -

Se você está de boa saúde e as coisas estão em outros aspectos, como desejar, é bom; comigo também as coisas são moderadamente bem. Durante o tempo que passei com você em Pérgamo, observei sua ânsia de se tornar aquatinted com o meu trabalho em cônicas.

As únicas outras peças de informação sobre a vida de Apolônio pode ser encontrada nos prefácios de vários livros de cônicas. Ficamos sabendo que ele teve um filho, também chamado de Apolônio, e de fato seu filho tomou a segunda edição do livro de duas das Cónicas de Alexandria a Eudemo de Pérgamo. Nós também aprendemos com o prefácio deste livro que Apolônio introduziu o geômetra Philonides a Eudemo, enquanto eles estavam em Éfeso.

Estamos em um pouco melhor estado de conhecimento a respeito dos livros que Apolônio escreveu. Cónicas foi escrito em oito livros, mas apenas o primeiro de quatro sobreviveram em grego. Em árabe, no entanto, os primeiros sete dos oito livros de Cónicas sobreviver.

Primeiro devemos notar que cónicas a Apolônio são por definição as curvas formadas quando um avião cruza a superfície de um cone. Apolônio, explica no prefácio como ele veio a escrever suas Conics trabalho famosos (ver [4] ou [7]): -

... I realizou a investigação deste assunto a pedido do Naucrates o geômetra, no momento em que ele veio a Alexandria e ficou comigo e, quando eu tinha trabalhado para fora em oito livros, eu dei para ele de uma só vez também às pressas, porque ele estava a ponto de vela; eles tinham, portanto, não foi completamente revisto, na verdade eu tinha colocado para baixo tudo como ocorreu-me, adiando a revisão até o fim.

Livros 1 e 2 dos Conics começaram a circular sob a forma de sua primeira versão, na verdade, há alguma evidência de que algumas traduções que chegaram até nós viemos de estes primeiros esboços. Apolônio escreve (ver [4] ou [7]): -

... Aconteceu que algumas pessoas também, entre aqueles que eu conheci, tem o primeiro e segundo livros antes que eles foram corrigidos ....

Cónicas composta por 8 livros. Livros um a quatro formar uma introdução elementar para as propriedades básicas de cônicas. A maioria dos resultados desses livros eram conhecidos por Euclides, Aristeu e outros, mas alguns são, nas palavras do próprio Apolônio: -

... Trabalhou de forma mais completa e geral do que nos escritos de outros.

No primeiro livro as relações satisfeitas pelos diâmetros e tangentes de cônicas são estudadas enquanto que no livro dois Apolônio investiga como hipérboles são relacionadas às suas assíntotas, e ele também estuda como desenhar tangentes a cónicas dadas. Há, no entanto, novos resultados nestes livros, em particular, no terceiro livro. Apolônio escreve livro de três (ver [4] ou [7]): -

... Mais e mais bonita desses teoremas são novos, e foi a sua descoberta que me fez consciente de que Euclides não elaborou as sínteses do locus com respeito a três e quatro linhas, mas apenas uma parte chance de ele e que não êxito; pois não era possível para a referida síntese a ser completada sem a ajuda dos teoremas adicionais descobertos por mim.

Livros de cinco a sete são altamente original. Nestes Apolônio discute normais de cônicas e mostra como muitos podem ser tiradas a partir de um ponto. Ele dá proposições determinação do centro de curvatura que conduzem imediatamente à equação cartesiano da evoluta. Heath escreve que o livro cinco [7]: -

... É o mais notável dos livros existentes. Ele lida com as normais para cônicas consideradas como linhas retas máximos e mínimos retirados de determinados pontos da curva. Incluídos nele são uma série de proposições que, embora elaborada pelos mais puros métodos geométricos, realmente levar imediatamente à determinação da evolute de cada uma das três cónicas; isto é, as equações cartesianas dos evolui pode ser facilmente deduzido a partir dos resultados obtidos por Apolônio. Não pode haver dúvida de que o livro é quase totalmente original, e é um verdadeiro tour de force geométrica.

A beleza de secções cónicas de Apolônio pode ser facilmente visto através da leitura das proposições como determinado por Heath, ver [4] ou [7]. No entanto, Heath explica em [7] quão difícil o texto original é ler: -

... O tratado é um grande clássico que merece ser mais conhecido do que ele é. O que milita contra a sua sendo lido em sua forma original é a grande extensão da exposição (que contém 387 propostas separadas), em parte devido ao hábito grego de provar casos particulares de uma proposição geral separadamente da própria proposição, mas mais para a lentidão dos enunciados das proposições complicadas em termos gerais (sem a ajuda de letras para denotar pontos específicos) e ao elaborateness da forma euclidiana, a que Apolônio adere por toda parte.

Pappus dá algumas indicações do conteúdo de seis outras obras de Apolônio. Estes são de corte de um rácio (em dois livros), corte uma área (em dois livros), na secção determinada (em dois livros), tangências (em dois livros), Plane loci (em dois livros), e On beirando construções ( em dois livros). Corte de uma relação sobrevive em árabe e é-nos dito pelo bibliógrafo século 10 Ibn al-Nadim que três outras obras foram traduzidas para o árabe, mas nenhum destes sobrevive.

Para ilustrar o quão longe Apolônio tinha tomado construções geométricas além daquele dos Elementos de Euclides que consideramos os resultados que são conhecidos por ter sido contida em tangências. No Elements Livro III Euclid mostra como desenhar um círculo através de três pontos dados. Ele também mostra como desenhar uma tangente a três linhas dadas. Em tangências Apolônio mostra como construir o círculo que é tangente a três círculos dadas. Em termos mais gerais, ele mostra como construir o círculo que é tangente a todos os três objetos, onde os objetos são pontos ou linhas ou círculos.

Em [14] Hogendijk relata que duas obras de Apolônio, não se pensava ter sido traduzido para o árabe, foram, de facto conhecido por geômetras muçulmanas do século 10. Estes são os loci obras Plane and On construções beirando. Em [14] alguns resultados dessas obras que não eram conhecidos anteriormente ter sido provado por Apolônio são descritos.

De outras fontes, há referências com ainda outras livros de Apolônio, nenhum dos quais sobreviveram. Hypsicles refere-se a uma obra de Apolônio comparando um dodecaedro eo icosaedro inscritos na mesma esfera, que, como Conics apareceu em duas edições. Marinus, escrevendo um comentário sobre dados de Euclides, refere-se a um trabalho geral por Apolônio em que são discutidos os fundamentos da matemática, tais como o significado de axiomas e definições. Apolônio também escreveu uma obra sobre a hélice cilíndrica e outra sobre números irracionais que é mencionado por Proclus. Eutocius refere-se a um livro de entrega rápida por Apolônio em que foi obtida uma aproximação para π melhor do que o

223/71 <π <22 p="">
conhecida a Arquimedes. Em On the Burning Espelho Apolônio mostrou que os raios de luz paralelos não são levados a um foco de um espelho esférico (como se pensava anteriormente) e discutidas as propriedades focais de um espelho parabólico.

Apolônio foi também um importante fundador da astronomia matemática grega, que usava modelos geométricos para explicar a teoria planetária. Ptolomeu, em seu livro Syntaxis diz Apolônio sistemas do movimento excêntrico e epicyclic introduzida para explicar o movimento aparente dos planetas no céu. Isto não é estritamente verdade, pois a teoria da epicycles certamente antecede Apolônio. No entanto, Apolônio fez contribuições substanciais em particular usando suas grandes habilidades geométricas. Em particular, ele fez um estudo dos pontos onde um planeta parece estacionária, ou seja, os pontos em que o movimento para a frente muda para um movimento retrógrado ou o inverso.

Havia também aplicações feitas por Apolônio, utilizando seus conhecimentos de cônicas, a problemas práticos. Desenvolveu o hemicyclium, um relógio que tem as hora linhas desenhadas na superfície de uma secção cónica que dá uma maior precisão.

Texto adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

janeiro 1999

MacTutor História da Matemática

88 - Matemática - Aula 13 - Médias para todos os fins - Parte 1

DIVIRTA-SE (88)

Resolva o seguinte (cada letra é um algarismo):

Alice e algumas relações trigonométricas

*PHILON

Philon de Bizâncio

Data de Nascimento: cerca de 280 aC em Bizâncio (Turquia)
Morreu em: cerca de 220 aC

Apenas algumas referências a Philon de Bizâncio existem na literatura. Ele é mencionado por Vitrúvio, que era um arquiteto e engenheiro romano. Vitruvius (século 1 aC) foi o autor do famoso tratado De architectura (On Architecture) e neste trabalho ele dá uma lista de doze inventores de máquinas que incluem Archytas (segundo lugar na lista), Arquimedes (em terceiro lugar na lista), Ctesibius (em quarto lugar na lista), e Philon de Bizâncio (sexto na lista).

Heron de Alexandria menciona um trabalho por Philon Em teatros automáticas que na verdade faz parte de seu tratado Mecânica. Eutocius também menciona Philon e cita uma obra por ele sobre a duplicação do cubo e este material é novamente contido em seu tratado Mecânica. Talvez a mais informações sobre a vida de Philon, e isso é muito pouco, na verdade, vem do único trabalho de seus mecânicos que sobreviveu (pelo menos partes principais sobreviveram). Neste tratado, ele escreve sobre a catapulta que foi recentemente inventado por Ctesibius, que mencionamos acima como vindo antes Philon na lista de inventores dadas por Vitruvius. A partir desta informação podemos datar Philon bastante precisão e sabemos que ele escreveu seus mecânicos tratadistas em torno de 250 aC.

Antes de descrever o conteúdo de Mecânica da obra de Philon vamos dar alguns pequenos detalhes da vida de Philon, que pode ser deduzida a partir de observações que ele faz neste texto. Certamente Philon descreve as viagens que fizera para Rodes e Alexandria para estudar catapultas. Ele parece ter discutido aplicações militares de catapultas com os governantes de Alexandria. O tom aqui gostaria de sugerir que Philon era um homem rico de independente significa capaz de viajar na busca de seus estudos. Por outro lado, é possível que ele foi considerado o tipo certo de pessoa cujo conselho deve ser procurado em assuntos militares e ele pode ter sido ganhava a vida aconselhando governantes militares.

Qual foi exatamente no tratado Mecânica de Philon? Sabemos que ele tinha nove livros:

1. Introdução
2. No alavanca
3. Na construção de portos marítimos
4. Na catapultas
5. Na pneumática
6. Na teatros automáticas
7. Na construção de fortalezas
8. No cerco e defender cidades
9. No estratagemas

O texto dos livros 4, 5, 7 e 8 sobreviveu, enquanto o resto foi perdido. No entanto Philon tem o hábito de referência cruzada totalmente em seu trabalho para que possamos aprender um pouco sobre o que estava contido nas seções perdidas, estudando os sobreviventes. O estilo do tratado é bastante incomum já que os livros são compostas de muitos capítulos curtos. Por exemplo livro 8 é composto por duas secções, com 75 capítulos na primeira secção e 111 capítulos na segunda seção.

Este tratado não é apenas um trabalho sobre o que consideraríamos hoje para ser matemática aplicada. Por exemplo Livro 8, além de descrever formas de defender muralhas de terra e ataque do mar, também salienta o quão importante é ter um bom médico disponível. Philon argumenta que os gravemente feridos em ataques de modo que eles não podem trabalhar pensões novamente devem ser atribuídas, e que devem ser fornecidas as esposas dos mortos para.

Para capturar uma cidade através de um cerco de uma obrigação, de acordo com Philon, fazer uso adequado de máquinas, tais como catapultas e outras máquinas de guerra. Além disso deve-se tentar privar os habitantes da cidade, subornar as pessoas adequadas para ajudá-lo, use as suas receitas de veneno para matar os habitantes, e também usar criptografia para passar mensagens secretas. Seria interessante ter detalhes de sua criptografia proposto, mas, infelizmente, o trabalho de Philon sobre este tema foi perdida.

Uma contribuição importante matemático por Philon foi o problema da duplicação do cubo. À primeira vista, isso parece muito distante dos temas já observamos que estão em seu tratado. No entanto, esta não é assim para Philon examina o seguinte problema. Dada uma catapulta, como você fazer uma segunda catapulta que pode disparar um míssil duas vezes mais pesado que o primeiro. Para fazer isso é necessário construir uma máquina cujas dimensões lineares são aumentadas exatamente a quantidade necessária para o seu volume (o cubo da dimensão linear) para o dobro.

O seu método de duplicar o cubo é semelhante à que, devido à Heron. A solução é efectivamente produzido pela intersecção de um círculo e uma hipérbole retangular.

Texto adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

abril 1999

MacTutor História da Matemática

87 - Matemática - Aula 12 - Sequências - Parte 2

DIVIRTA-SE (87)

Enigma dos quatro quatros.

Este é um passatempo matemático muito popular:

Use exatamente quatro quatros para formar cada número inteiro de 0 a 50, utilizando apenas os operadores +, -, x, /, () ( parêntesis), elevar ao quadrado  e ! (fatorial).

Exemplo: 0 = 44-44

Alice e o cosseno da diferença de arcos

*CONON

Conon de Samos

Data de Nascimento: cerca de 280 aC, em Samos
Morreu em: cerca de 220 aC na (possivelmente) Alexandria, Egito

Conon de Samos é dito ter servido como astrónomo tribunal para Ptolomeu III (também conhecido como Ptolomeu Euergetes) em Alexandria, ver, por exemplo [1] e [2]. No entanto, Neugebauer [5] afirma que: -

É apenas uma invenção moderna para fazer Conon um "astrônomo tribunal»; tal classificação existia no Egito ptolomaico ...

Conon é lembrado especialmente para Bloqueio poema de Calímaco de Berenice sobre a constelação Coma Berenices. Pode ser como um resultado desse poema que Conon é bem conhecido por Virgílio e Propércio.

A história da constelação Coma Berenices é que a rainha Berenice II, a esposa de Ptolomeu Euergetes, jurou um voto que ela iria dedicar uma mecha de seu cabelo para o templo se o marido voltou vitorioso da Terceira Guerra sírio. A guerra foi travada por Ptolomeu Euergetes para vingar o assassinato de sua irmã na Síria. Quando voltou vitorioso em 245 aC, Berenice cortou a mecha de seu cabelo e colocou-o no templo. No dia seguinte, a mecha de cabelo tinha desaparecido e Conon declarou que ele poderia vê-lo nas estrelas entre Virgo, Leo e Bootes. A partir desse momento a constelação tem sido conhecido como Coma Berenices.

Conon era um amigo ao longo da vida de Arquimedes e os dois trocaram ideias matemáticas. Heath [4] escreve: -

Foi provavelmente em Alexandria que [Arquimedes] fez o conhecimento de Conon de Samos (por quem tinha o maior respeito tanto como um matemático e um amigo).

Pappus afirma que a curva de agora conhecida como a espiral de Arquimedes foi descoberto por Conon embora tenha sido muito utilizado por Arquimedes. Heath escreve em [4] que Conon foi: -

... Citado como o proponente de um teorema sobre a espiral em um plano que Arquimedes provou: isso seria, no entanto, parece ser um erro, como Arquimedes diz no início de seu tratado que ele enviou certos teoremas, sem provas, a Conon, que teria certamente provou que ele tinha vivido.

O trabalho de Conon sobre cónicas tornou-se uma base para o quarto livro de cônicas de Apolônio de Perga apesar do fato de que Apolônio faz menos de admirar observações sobre Conon no prefácio. Apolônio diz que Conon enviou um pedaço de trabalho para Trasídeo que discutiu os pontos de intersecção das cônicas (incluindo círculos), mas que os resultados de Conon estão incorretos e foram vistos a ser assim por Nicoteles de Cirene. O trabalho a que se refere Apolônio é de Conon Prós Thrasydaion que agora está perdido por isso não podemos julgar a exatidão dos comentários.

Também é perdido grande trabalho de Conon sobre astronomia, os sete livros de De astrologia, que incluíram observações do eclipse solar. Ptolomeu atribui dezessete "sinais das estações" a Conon que ele pode ter dado neste trabalho. Como a habilidades de Conon, como observador, Seneca, escrevendo no primeiro século dC, diz [5]: -

... Que Conon era um observador cuidadoso e que ele "eclipses solares registrados observados pelos egípcios".

Mas Neugebauer [5] acrescenta que este é: -

... Uma história difícil levar a sério, tendo em conta o que sabemos da astronomia egípcia.

Para a discussão sobre a obra de Conon com as observações da Babilônia, consulte o artigo [3].

Outra avaliação do Conon veio em forma poética de Catulo, poeta romano (84 aC - 54 aC), que escreveu que Conon (ver por exemplo [1]): -

... Discernido todas as luzes do vasto universo, e divulgados os levantes e as configurações das estrelas, como o brilho de fogo do sol é escurecido, e como as estrelas recuam em horários fixos.


Texto adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

abril 1999

MacTutor História da Matemática

86 - Matemática - Aula 11 - Sequências - Parte 1

DIVIRTA-SE (86)

Na multiplicação abaixo, cada letra corresponde a um número.

Determine o valor de cada letra.

A B C 4 D E

x               7

6 7 4 3 F 5 6

Mathematics and sex | Clio Cresswell | TEDxSydney

*CRISIPO

Crisipo de Soli

Data de Nascimento: 280 aC em Soli, Cilícia, na Ásia Menor (atual Soloi, Turquia)
Morreu em: 206 aC em Atenas, Grécia

Crisipo foi de raízes fenícias. Ele veio para Atenas para estudar filosofia na Academia com Arcesilaus. Depois de um tempo, ele deixou a Academia e se mudou para a Academia Pórtico Pintado em Atenas, onde foi aluno na Escola fundada por Zeno de Citium.

Até o momento Crisipo se juntou ao Poikile Academy Stoa, Cleanthes de Assos havia se tornado a segunda cabeça após a morte de Zeno. Crisipo estudou com Cleanthes, mas ele também foi influenciado pelos ensinamentos de Platão. Em 232 aC Crisipo tornou-se o terceiro chefe do Pórtico Pintado após a morte de Cleanthes. Ele foi para continuar a manter esta posição até sua própria morte.

Há evidências a partir dos escritos de Chrysippus que ele era pobre ao longo de sua vida. Certamente, ele declarou que, para um filósofo para se tornar rico, ele pode servir a um rei (ou mesmo, disse Crisipo, tornou-se um rei). Contudo, é evidente que ele não adotar este caminho para uma renda constante. Caso contrário, Crísipo escreve, o filósofo deve confiar em seus amigos e em ensinar a fim de viver, e parece que este é o meio pelo qual ele fez sua pequena renda.

Outra peça de informação, que mais uma vez não é surpreendente, é que Crisipo escreveu grega com estilo muito pobre. Esta parece ter sido uma característica das pessoas de Soli, e este é preservado hoje na expressão "solecismo". Apesar de sua prosa grega sendo estranho, ele era um escritor prolífico, que se diz ter escrito 705 rolos de papiros, nenhum dos quais são permanece até hoje.

Juntamente com Zeno de Citium, Crísipo é considerado o co-fundador do estoicismo. Estoicismo leva o nome de Academia Poikile Stoa que por sua vez significa "Colonnade pintado", o lugar onde o fundador da academia normalmente leccionado.

Crisipo foi um dos primeiros a organizar a lógica proposicional como uma disciplina intelectual. proposições não analisados ​​unidas por conectivos foram estudados. Isto permitiu que os estóicos a fazer grandes avanços em matemática e ciências. O termo "disjunção" lógico é certamente devido ao estóicos e é pensado para ter originado com Crisipo. Diógenes Laércio em [3] lista 118 obras sobre a lógica por Crisipo, e destes 118 há sete livros que ocupam 15 rolos de papiros relativas ao Mentiroso Paradox.

Uma alegação que Crisipo fez na área da lógica era a rejeitar que o impossível não se segue a partir do possível. Seus argumentos em relação a este são apresentados em [8], que também examina de forma mais geral a sua opinião sobre a lógica modal.

Em Física Crisipo fez distinções entre "todo" e "todos" ou "universo". Ele argumentou que o "todo" é o mundo, enquanto o "tudo" é o vazio externo, em conjunto com o mundo. Ele acreditava que a lógica e física são necessários para diferenciar entre o bem eo mal. Para Crísipo é necessário um conhecimento da física antes de ética pode ser formulado. Para ele, o valor da física e da lógica é principalmente para este fim.

Russell em [4] diz: -

Crisipo ... tinha uma elaborada teoria do conhecimento, na principal empírica e com base na percepção, apesar de [ele] permitiu certas idéias e princípios, que foram realizadas a ser estabelecido por ... o acordo da humanidade.

Uma das contribuições de Crisipo a matemática é sua afirmação de que 'um' é um número. Pode parecer estranho para nós a perceber que 'um' já não foi considerado como um número, mas, claro, um pouco de reflexão deixa claro que, na verdade, não há necessidade para um número para descrever um único objeto. Na verdade "um" foi considerado como aquele pelo qual as coisas são medidas. Aristóteles, em Metafísica escreve (ver por exemplo [5]): -

... Uma medida que não é das coisas medidos, mas a medida ou o Uno é o começo de número.

Crísipo disse 'um' era 'uma multidão "e deve ser considerado como um número, mas isso não foi imediatamente aceito, Jâmblico escrito que" uma multidão "era uma contradição em termos.

Plutarco em noções comuns contra os estóicos relata um dilema proposto por Demócrito como relatado por Crisipo sobre um cone cortado por um plano paralelo à sua base. Crisipo argumenta contra a interpretação do dilema alegando que ele é baseado na suposição de que as linhas matemáticas têm uma estrutura atômica e não são, portanto, infinitamente divisível. No entanto Heath [5] não acredita, como Crisipo faz, que Demócrito diz respeito linhas matemáticas como tendo uma estrutura atômica. Este aspecto das ideias de Crisipo de Solis são discutidas no artigo interessante [7].

Há um ditado muito antigo diz de Crisipo, que: -

... Só ele é o sábio, os outros só agem como sombras.

Há outro ditado (ver por exemplo [6]): -

Se não tivesse havido Crisipo, não teria havido nenhuma estoicismo

o que certamente não exagerar grandemente a sua importância.

Há uma série de versões de como Chrysippus morreu, um dos quais diz que ele bebeu um pouco mais de vinho prova enquanto outra diz que ele morreu de rir. Consult [3] para mais detalhes (provavelmente fictício) de sua vida.

Texto adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

abril 1999

MacTutor História da Matemática

85 - Matemática - Aula 10 - Representações, gráficos, transformações - Parte 2

DIVIRTA-SE (85)

Uma piscina com capacidade de 72000 litros pode ser cheia por meio de duas aberturas.

Sozinha, a primeira abertura leva 48 horas ( 2 dias ) para encher a piscina.

Já a segunda abertura, leva sozinha 96 horas ( 4 dias ) para encher a piscina.

Quanto tempo leva para as duas aberturas juntas encherem a piscina?

FRACTAIS (25)

Eduardo Sáenz de Cabezón: Math is forever

*NICOMEDES

Data de Nascimento: cerca de 280 aC na Grécia
Morreu em: cerca de 210 aC

Não sabemos nada da vida Nicomedes '. Para fazer uma suposição sobre seu namoro vida, temos alguns limites que são dadas por referências ao seu trabalho. -se Nicomedes criticou o método que Eratóstenes usado para duplicar o cubo e fizemos uma estimativa razoavelmente precisa no tempo de vida de Eratóstenes (276 aC - 194 aC). A menos certo pedaço de informação vem de Apolônio escolhendo para citar 'irmã do concóide' curva que é assumido como sendo um nome que ele escolheu para elogiar descoberta do concóide Nicomedes '. Desde Apolônio viveu cerca de 262 aC a 190 aC estes dois pedaços de informação dar uma estimativa bastante precisa das datas Nicomedes '. No entanto, como observou o segundo destes pedaços de informação não pode ser invocado mas, no entanto, pelo que sabemos da matemática da Nicomedes, deduzidas as datas são bastante convincentes.


Nicomedes é famoso por seu tratado Sobre linhas concóide que contêm a descoberta da curva conhecida como a concóide de Nicomedes. Como Nicomedes definir a curva. Considere o diagrama. É-nos dada uma linha XY e um ponto A não na linha. ABC é traçada perpendicularmente à XY cortá-lo em B e tendo o comprimento BC algum valor fixo, por exemplo b. Em seguida, gire ABC sobre A fim de que, em uma posição arbitrária ADE então DE = b. Portanto, se um ponto P sobre a concóide está associado a um, em seguida, PA corta a linha XY em um ponto a uma distância b do P.

Nicomedes reconhecidas três formas diferentes nesta família, mas as fontes não entrar em detalhes sobre este ponto. Acredita-se que eles devem ser os três ramos da curva. O concóide pode ser usado na solução de ambos os problemas de tri-secção de um ângulo e da duplicação de um cubo. Ambos estes problemas foram resolvidos por Nicomedes usando o concóide, de facto, como Toomer escreve em [1]: -

Tanto quanto se sabe, todos os aplicativos do concóide feitos na Antiguidade foram desenvolvidos pelo próprio Nicomedes. Não foi até o final do século XVI, quando as obras de Pappus e Eutocius que descrevem a curva tornou-se geralmente conhecido, que o interesse em que reviveu ...

Como indicado nesta citação Pappus também escreveu sobre Nicomedes, em particular, ele escreveu sobre sua solução para o problema de um ângulo triseccionar (ver por exemplo [2]): -

Nicomedes trisected qualquer ângulo retilíneo por meio das curvas concoidal, a construção, a ordem e propriedades dos quais ele proferida, sendo ele próprio o descobridor de seu caráter peculiar.

Nicomedes também usou o quadratrix, descoberto por Hípias, para resolver o problema da quadratura do círculo. Pappus diz-nos (ver por exemplo [2]): -

Para a quadratura do círculo não foi utilizado por Dinostratus, Nicomedes e certas outras pessoas mais tarde uma certa curva, que teve o seu nome a partir desta propriedade, por isso é chamado por eles quadrados, formando

em outras palavras, o quadratrix.

Eutocius nos diz que Nicomedes [2]: -

... Orgulhava-se excessivamente na sua descoberta desta curva, contrastando-a com o mecanismo de Eratóstenes para encontrar qualquer número de grandezas proporcionais média, à qual ele se opôs formalmente e longamente sobre o fundamento de que era impraticável e totalmente fora do espírito de geometria.


Texto adaptado de um artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

abril 1999

MacTutor História da Matemática

Feliz 2016 !!

Aproveitando que estamos no primeiro dia do novo ano, gostaria de mostrar algo relativo ao número que o identifica. 

Observe:

2016

“Quebre” o número em duas partes separando as dezenas e unidades dos demais.

Assim: 20 e 16.

Agora, some e subtraia os dois números obtidos.

20 + 16 = 36 e 20 – 16 = 4

Caso não tenha percebido, em ambas as operações obtivemos quadrados perfeitos pois 36 = 6 X 6 e 4 = 2 x 2

Será que você pode dar exemplo de outra dupla de números cuja soma e subtração também geram quadrados perfeitos?

E, se existirem outros exemplos, será possível encontrar todos?